Egy egyszerű (vagy kombinatorikus ) d -gömb egy egyszerű komplex , amely homeomorf egy d - dimenziós gömbhöz . Egyes egyszerű gömbök egy konvex poliéder határaiként jelennek meg , de nagyobb dimenziókban a legtöbb egyszerű gömb ilyen módon nem érhető el.
A legfontosabb nyitott probléma ezen a területen a g-hipotézis , amelyet Peter McMullen fogalmazott meg , aki egy egyszerű gömb különböző dimenziójú lapjainak lehetséges számára kérdezett rá. 2018. december Karim Adiprasito minden d -re bebizonyította a sejtést [1] .
Az Euler-képletből következik, hogy minden egyszerű, n csúcsú 2-gömbnek 3n − 6 éle és 2n − 4 lapja van. Az n = 4 eset tetraéderként valósul meg. Ha a baricentrikus felosztást megismételjük, könnyű egyszerű gömböket konstruálni bármely n ⩾ 4- re. Ernst Steinitz azonban leírta az R 3 konvex politópjainak 1-vázát (élgráfjait) , ami azt jelenti, hogy bármely egyszerű 2 -gömb a konvex politóp határa.
Branko Grünbaum egy példát konstruált egy egyszerű gömbre, amely nem egy többdimenziós poliéder határa. Gil Kalai bebizonyította, hogy valójában a "legtöbb" egyszerű szféra nem a poliéder határa. A legkisebb példa a d = 4 dimenzióban létezik, és f 0 = 8 csúcsa van.
felső korlát tétel felső korlátot ad bármely f 0 = n csúcsúegyszerű d -gömb f i i -lapjainak számára. A sejtést poliéderes gömbökre 1970-ben Peter McMullen [2] , általános egyszerűsített gömbökre pedig 1975-ben Richard Stanley igazolta .
A McMullen által 1970-ben megfogalmazott g -sejtés felveti az egyszerű d -gömbök f -vektorainak teljes leírásának kérdését. Más szóval, milyen lehetséges halmazai vannak egy egyszerű d -gömb egyes dimenzióinak lapjainak? A poliéder gömbökre a választ a g - tétel adja , amelyet 1979-ben Billera és Lee (létezés) és Stanley (szükségesség) bizonyított. Feltételezték, hogy az általános egyszerű szférákhoz ugyanazok a feltételek szükségesek. 2015-re a hipotézis nyitva maradt d = 5 és afeletti érték esetén. 2018 decemberében Karim Adiprasito minden d -re bebizonyította a sejtést [1] .