Család (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A család vagy egy indexelt család objektumok gyűjteménye, amelyek mindegyike valamilyen indexkészletből származó indexhez van társítva . Formálisabban az indexelt család valamilyen matematikai függvényt képvisel a tartományával és tartományával együtt . Az ilyen jelölésű halmazt indexhalmaznak (vagy egyszerűen indexnek) nevezzük, és egy család indexelt halmazának. $x$ $én$ $x$ $én$ $x$

Definíció

Legyen és néhány halmaz, és legyen szürjektív függvény $én$ $x$ $x$

{\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned))

Egy ilyen leírás meghatározza a halmaz által indexelt elemcsaládot , $x$ $én$ amelyet vagy egyszerűen jelölünk . Az indexkészletnek nem kell megszámlálhatónak lennie. $\{x_{i}\}_{i\in I}$ $\{x_i\}$

Példák

Index jelölés

Ha indexjelölést használunk, az indexelt elemek egy családot alkotnak. Például a következő nyilatkozatban:

A vektorok lineárisan függetlenek. $v_{1},\dots ,v_{n}$

A vektorok családja implicit módon be van vezetve . Ugyanakkor fontos, hogy családról beszéljünk, és ne halmazról, mivel a halmazok nincsenek sorrendben, és értelmetlen lenne egy halmaz edik eleméről beszélni adott indexelés nélkül. Ráadásul a lineáris függetlenség a teljes objektumgyűjtemény sajátja, ezért fontos, hogy családról beszéljünk, és ne vektorhalmazról. ${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,n\))}$ $én$

Mátrixok

A következő nyilatkozatban:

Egy mátrix akkor és csak akkor nem degenerált , ha sorai lineárisan függetlenek. $A$

Az előző megállapításhoz hasonlóan a mátrix sorait pontosan egy családnak tekintjük, nem pedig halmaznak. Például a következő mátrixhoz:

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.

Sorainak halmaza egyetlen elemből áll, és lineárisan független, de a mátrix degenerált. Ugyanakkor a karakterlánccsalád két elemet tartalmaz, és lineárisan függő. ${\megjelenítési stílus (1,1)}$

Egyéb példák

Hagy jelölje a véges halmazt , ahol egy pozitív egész szám. ${\bf {n))$ $\{1,2,\dots ,n\}$ $n$

A pár egy kételemű halmaz által indexelt család . ${\bf {2}}=\{1,2\}$
A tuple egy család, amelyet egy halmaz indexel . ${\bf {n))$
A sorozat egy természetes számokkal indexelt család .
A mátrix egy derékszögű termékkel indexelt család . ${\bf {n}}\times {\bf {m}}$
Az irányítottság az irányított halmaz által indexelt család .

Műveletek családokon

Az indexelt halmazokat gyakran használják összegzéseknél és hasonló műveleteknél. Például, ha egy számcsalád, akkor az összes ilyen szám összegét a következővel jelöljük ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I))$

\sum _{i\in I}a_{i}.

Ha halmazok családja, akkor a család összes elemének egyesülését jelöljük $\{A_{i}\}_{i\in I}$

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

A család összes elemének metszéspontja és derékszögű szorzata hasonló módon írható fel .

Kategóriaelméletben

A család analógja a kategóriaelméletben a diagramok. A diagram egy olyan függvény , amely egy kategória objektumcsaládját határozza meg, amelyet valamilyen más kategória indexel, amely szintén indexeli a kategória morfizmusait . $C$ $J$

Lásd még

Irodalom

Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. kiadás, 2 köt., Kiyosi Itô (szerk.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. EDM-ként idézve (kötet).