Projektor (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A lineáris algebrában és a funkcionális analízisben a lineáris térben működő lineáris operátort projektornak (és vetületi operátornak és vetületi operátornak is) nevezzük , ha . Az ilyen operátort idempotensnek nevezzük . $P$ $P^{2}=P$

Absztraktsága ellenére ez a meghatározás általánosítja a geometriai vetület felépítésének gondolatát .

A kivetítő következő tulajdonsága használható definícióként: a lineáris operátor akkor és csak akkor projektor, ha vannak olyan alterek és terek , amelyek a közvetlen összegükre tágulnak, sőt, bármely elempárra, amivel rendelkezünk . Az és alterek rendre a projektor képe és kernelje , és jelölésük a és . $P:X\-X$ $U$ $V$ $x$ $x$ $u\in U,\ v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $V$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

Általános esetben egy lineáris tér direkt összegre való felbontása nem egyedi. Ezért általánosságban elmondható, hogy a tér egy alteréhez sok olyan kivetítő létezik, amelyek képe vagy kernelje egybeesik a -val . $V$ $x$ $V$

Projekciós operátorok tulajdonságai

Legyen az azonos operátor . Ha projektor, akkor az is projektor, sőt, és . $én$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
Egy véges dimenziós normált térben minden vetületi operátor folytonos .
Egy Banach tér esetében a vetítési operátor folyamatos lesz, ha a képe zárva van , és a projektor kernelje is zárva lesz. Így a folytonos projektor a térnek a zárt alterek közvetlen összegére való felbomlását határozza meg: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Egy projektor sajátértéke csak 0 és 1 lehet. A projektor megfelelő sajátterei a mag és a kép.

Projektor kombinációk

Legyen és legyen a vektortéren definiált kivetítők , amelyek alterekre és alterekre vetítenek . Akkor $P_1$ $P_2$ $x$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ akkor és csak akkor egy kivetítő az altérben . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ projektor akkor és csak akkor, ha . az altérre vetül . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Ha , akkor egy projektor az altérre . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\sapka M_{2}$

Példák

A térben lévő pontok ortogonális vetületét (lásd alább ) egy síkra a mátrix adja meg $(x,y,z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmátrix}}.

A következő pontokon működik:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

A legegyszerűbb nem ortogonális projektor a sík pontjainak ferde vetítését hajtja végre egy egyenesre . Ezt a mátrix adja meg:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmátrix}}.

Könnyen kimutatható, hogy ez valóban egy projektor:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Az által adott vetület akkor és csak akkor ortogonális . $P$ $\alpha=0$

Orto projektor

Ha a tér Hilbert , azaz van egy belső szorzata (és innen ered az ortogonalitás fogalma ), akkor bevezethetjük az ortogonális projektor fogalmát. $x$

Az ortogonális projektor a projektor speciális esete, amikor a fent említett és alterek egymásra merőlegesek, más szóval amikor , vagy , vagy . Ebben az esetben egy elem vetülete a hozzá legközelebb eső térelem . $U$ $V$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\X-ben$ $U$

Irodalom

Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek = Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.