Választás axiómája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A választás axiómája , eng. röv. Az AC (a választási axiómából ) a következő állítás a halmazelméletből :

A nem üres halmazok bármely családjához [1] létezik egy függvény , amely a család minden halmazához társítja ennek a halmaznak az egyik elemét [2] . A függvényt az adott család kiválasztó függvényének nevezzük . $x$ $f$ $f$

Formális nyelven :

\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Ha csak véges halmazcsaládokra szorítkozunk, akkor a választási axióma állítása más halmazelméleti axiómák [2] alapján is bizonyítható, és nem kell külön axiómaként posztulálni. Egyes végtelen családokra is bebizonyítható , de általában a végtelen családoknál a választási axióma nem következik más axiómákból, és független állítás.

Előzmények és értékelések

A választás axiómáját Ernst Zermelo fogalmazta meg és tette közzé 1904 -ben (bár 2 évvel korábban Beppo Levi jegyezte meg először ). Az új axióma heves vitákat váltott ki, és még mindig nem minden matematikus fogadja el feltétel nélkül [3] . Olyan vélemények hangzottak el, hogy a közreműködésével szerzett bizonyítékok "más kognitív értékkel bírnak", mint a nem tőle független bizonyítékok [3] [4] . A választási axióma megjelenése vitát váltott ki arról is, hogy mit jelent a „létezés” fogalma a matematikában – különösen arról, hogy egy halmaz létezőnek tekinthető-e, ha egyik eleme sem ismert [5] .

A választási axióma egyes matematikusok általi elutasítását mindenekelőtt az indokolja, hogy csak állítja egy halmaz létezését , de nem ad módot annak meghatározására; ilyen véleményt fogalmazott meg például Borel és Lebesgue [4] . Ezzel ellentétes véleményt vallott például Hilbert , Hausdorff és Frenkel , akik minden fenntartás nélkül elfogadták a választás axiómáját, ugyanazt a "nyilvánvalóságot" ismerve el számára, mint a halmazelmélet más axiómáinál : a térfogati axiómánál , a üres halmaz létezésének axiómája , pár axiómája , axiómaösszegek , fokaxióma , végtelenség axiómája . $d$

Sőt, a választási axióma következményei között számos meglehetősen paradox következmény található, amelyek intuitív tiltakozást váltanak ki a matematikusok részéről. Lehetővé válik például a labda megduplázásának paradoxonának bizonyítása , amelyet aligha tekinthet „nyilvánvalónak” minden kutató (lásd még Tarski-kör négyzetesítését ). Václav Sierpinski számos bizonyítást részletesen elemzett a választás axiómája alapján . Azonban kétségtelenül sok fontos matematikai felfedezés nem születhetett volna meg a választás axiómája nélkül [6] .

Bertrand Russell így kommentálta a választás axiómáját: „Először nyilvánvalónak tűnik; de minél többet gondolkodunk rajta, annál furcsábbnak tűnnek ebből az axiómából a következtetések; végül általában nem érted, mit jelent ez” [7] .

A választási axióma függetlenségét a többi Zermelo-Fraenkel axiómától Paul Cohen [8] [9] bizonyította .

Egyenértékű megfogalmazások

A választási axiómának sok más ekvivalens megfogalmazása is létezik.

A nem üres halmazok családjának derékszögű szorzata nem üres [10] .
Minden szürjektív függvénynek van egy jobb oldali inverz függvénye , azaz összetételük azonos függvény a -n, vagy más szóval a -n minden elemére . $f\colon A\to B$ $f^{-1}\colon B\to A$ $f\circ f^{{-1}}=\operátornév {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\in B$
Zorn lemmája (lásd lent)
Minden halmaz jól rendezhető (lásd alább, Zermelo tétel ).
Hausdorff maximum elv
Tarski tétele . Mindenvégtelen halmazhoz tartozik egybijekció. $A$ $A\to A\times A$

A választási függvény egy olyan függvény, amely halmazok halmazán van , és minden készlethez tartozik a -ból származó elem . A választási függvény fogalmát használva az axióma kimondja: $x$ $s$ $x$ $f(s)$ $s$

A nem üres halmazok bármely családjához létezik egy választási függvény, amely a -n van definiálva $x$ $f$ $x$ .

Vagy a legtömörebben:

Minden nem üres halmaznak van egy választási funkciója .

A választási axióma második változata kimondja:

A páronként diszjunkt nem üres halmazok egy adott tetszőleges halmazához van legalább egy halmaz, amely pontosan egy közös elemet tartalmaz a nem üres halmazok mindegyikében .

Egyes szerzők egy másik változatot használnak, amely hatékonyan kijelenti:

Bármely halmaznál a logikai érték mínusz az üres részhalmaz rendelkezik egy választási funkcióval

A

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnothing \}

Azok a szerzők, akik ezt a megfogalmazást használják, gyakran "választási függvényről" is beszélnek , de kikötik, hogy a választási függvény kissé eltérő fogalmát értik. Hatóköre logikai érték (mínusz az üres részhalmaz), míg a cikkben máshol a kiválasztási függvény hatóköre "halmazok halmaza". A választási függvény ezen további fogalmával a választás axiómája a következőképpen fogalmazható meg tömören: $A$

Minden készletnek van választási funkciója .

Alkalmazás

A 19. század végéig a választás axiómáját feltétel nélkül használták. Például egy nem üres halmazt tartalmazó halmaz definiálása után a matematikus ezt mondhatja: " Legyen meghatározva mindegyikre " . A választás axiómája nélkül általában lehetetlen bizonyítani, hogy létezik, de úgy tűnik, hogy ez nem foglalkozott Zermelo -ig . $x$ $F(ek)$ $s$ $x$ $F$

Nem minden esetben szükséges a választás axiómája. Egy véges halmaz esetében a választás axiómája a halmazelmélet egyéb axiómáiból következik. Ebben az esetben ugyanaz, mintha azt mondanánk, ha több (véges számú) dobozunk van, amelyek mindegyike egy azonos dolgot tartalmaz, akkor mindegyik dobozból pontosan egy dolgot választhatunk. Egyértelmű, hogy ezt megtehetjük: kezdjük az első dobozzal, válasszunk valamit; menjünk a második dobozhoz, válasszunk valamit; és így tovább. Mivel véges számú doboz van, a kiválasztási eljárásunk alapján a végére érünk. Az eredmény egy explicit választási függvény: egy olyan függvény, amely az első dobozt az általunk választott első elemre, a másodikat a második elemre képezi le, és így tovább. (Az összes véges halmaz formális bizonyításához használja a matematikai elvet indukció .) $x$

Egy végtelen halmaz esetén néha megkerülhetjük a választás axiómáját. Például, ha az elemek természetes számok halmazai . A természetes számok minden nem üres halmazának van egy legkisebb eleme, így kiválasztási függvényünk meghatározásakor egyszerűen azt mondhatjuk, hogy minden halmaz a halmaz legkisebb eleméhez kapcsolódik. Ez lehetővé teszi, hogy minden halmazból kiválasszunk egy elemet, így írhatunk egy explicit kifejezést, amely megmondja, hogy milyen értéket vesz fel a kiválasztási függvényünk. Ha egy választási függvényt így lehet definiálni, akkor a választási axióma nem szükséges. $x$ $x$

Nehézségek merülnek fel, ha lehetetlen természetes módon kiválasztani az elemeket az egyes készletekből. Ha nem tudunk egyértelműen dönteni, akkor miért vagyunk biztosak abban, hogy elvileg meg lehet hozni egy ilyen döntést? Például legyen a valós számok nem üres részhalmazainak halmaza . Először is megpróbálhatnánk úgy viselkedni, mintha véges lenne. Ha minden halmazból megpróbálunk kiválasztani egy elemet, akkor, mivel az végtelen, a kiválasztási eljárásunk soha nem ér véget, és ennek eredményeként soha nem kapunk mindenhez kiválasztási függvényt . Szóval nem működik. Ezután minden halmazból megpróbálhatjuk meghatározni a legkisebb elemet. De a valós számok egyes részhalmazai nem tartalmazzák a legkisebb elemet. Például egy ilyen részhalmaz egy nyitott intervallum . Ha hozzátartozik , akkor hozzátartozik is, és kevesebb, mint . Tehát a legkisebb elem kiválasztása sem működik. $x$ $x$ $x$ $x$ $(0,\;1)$ $x$ $(0,\;1)$ $x/2$ $x$

Az ok, amiért a természetes számok részhalmazából a legkisebb elemet választhatjuk, az a tény, hogy a természetes számok jól rendezett tulajdonsággal rendelkeznek. A természetes számok minden részhalmazának van egy egyedi legkisebb eleme a természetes sorrend miatt. Talán, ha okosabbak lennénk, azt mondhatnánk: „Talán, ha a valós számok szokásos sorrendje nem teszi lehetővé, hogy minden részhalmazban egy speciális (legkisebb) számot találjunk, bevezethetnénk egy másik sorrendet, amely megadná a kút tulajdonságát. rendelés. Ekkor funkciónk a szokatlan rendelésünk miatt minden készletből a legkisebb elemet tudja majd kiválasztani. A probléma ekkor merül fel a jól rendezettség ezen konstrukciójában, amelynek megoldásához a választás axiómájának megléte szükséges. Más szóval, minden halmaz akkor és csak akkor jól rendezhető, ha a választás axiómája igaz.

A választás axiómáját igénylő bizonyítások mindig nem építő jellegűek: még ha a bizonyítás létrehoz egy objektumot, lehetetlen megmondani, hogy pontosan mi is az a tárgy. Ezért, bár a választás axiómája lehetővé teszi számunkra, hogy a valós számok halmazát teljesen rendezzük, ez nem ad láthatóságot és általában véve konstruktivizmust. Ez az egyik oka annak, hogy egyes matematikusok nem szeretik a választás axiómáját (lásd még: Válság a matematika alapjaiban ). Például a konstruktivizmus megköveteli, hogy minden létezőt meg lehessen építeni. Elutasítják a választás axiómáját, mert az egy tárgy létezését egyértelmű leírása nélkül állítja. Másrészt, ha a választás axiómáját a létezés bizonyítására használjuk, akkor ez nem jelenti azt, hogy a konstrukciót nem tudjuk más módon befejezni.

A jól rendezett elv (Zermelo-tétel)

Egy nagyon gyakori és kényelmes megfogalmazás a jól rendezett halmaz fogalmát használja . Szükségünk lesz néhány definícióra, és kezdjük a lineáris rend szigorú meghatározásával, egy ismerős gondolatot kifejezve a halmazelmélet nyelvén. Emlékezzünk vissza , hogy egy rendezett elempárt jelölünk , és hogy a halmazok derékszögű szorzata az összes lehetséges rendezett párból áll , ahol . $(x,\;y)$ $X\-szer Y$ $(x,\;y)$ $x\X-ben,\;y\Y-ban$

A halmaz lineáris sorrendje egy derékszögű szorzat részhalmaza, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $A$ $R\subseteq A\times A$

Teljes: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor (y,\;x)\in R)$
Antiszimmetrikus: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;x)\in R\to y=x)$
Tranzitív: . $\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;z)\in R\to (x,\;z)\in R)$

A halmaz teljes sorrendje olyan lineáris sorrend , amelyben minden nem üres részhalmaznak van legalább eleme. $A$ $X\subseteq A$

A teljes rendelés elve az, hogy bármely készlet jól rendelhető .

Például a természetes számok halmaza jól rendezhető a szokásos "kisebb vagy egyenlő" relációval. Ugyanezen összefüggés mellett az egész számok halmazának nincs legkisebb eleme. Ebben az esetben összegyűjthetjük az egész számokat egy sorozatba , és azt mondhatjuk, hogy az alacsonyabb tagok kisebbek, mint a magasabbak. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen reláció az egész számok teljes sorrendje lesz. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\lpontok ,\;-n,\;n,\;\lpontok)$

Sokkal kevésbé nyilvánvaló, hogy a megszámlálhatatlan halmazt alkotó valós számok jól rendezhetők.

Zorn lemmája

Ha egy részben rendezett halmazban bármely láncnak (vagyis egy lineárisan rendezett részhalmaznak ) van felső korlátja, akkor a teljes halmaznak van legalább egy maximális eleme.

Formálisabban:

Legyen részlegesen rendezett halmaz , azaz a reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

Egy részhalmazt lineárisan rendezettnek nevezünk, ha . Egy elemet felső korlátnak nevezünk, ha . $S\alhalmaz P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $u\in P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Tegyük fel, hogy a halmaz bármely lineárisan rendezett részhalmazának van felső korlátja. Ekkor , azaz a maximális eleme . $P$ $\exists m\in P\;\nexists x\in P\;x>m$ $m$

Hausdorff maximumelve

Alternatívák

Ha a választási axióma alkalmazását csak véges és megszámlálható halmazcsaládokra korlátozzuk, akkor a " megszámlálható választás axiómáját " kapjuk . Ez teljesen elegendő az elemzés legtöbb tételének alátámasztására, és nem hozza létre a fent említett paradoxonokat. Nem elég azonban alátámasztani a halmazelmélet számos rendelkezését. Egy másik, valamivel erősebb lehetőség a függő választás axiómája , de ez nem felel meg a halmazelmélet igényeinek.

1962-ben a lengyel matematikusok, Jan Mychelski és Hugo Steinhaus az úgynevezett „ meghatározási axiómát ” javasolták a választott axióma helyett [11] . Ellentétben a választás axiómájával, amelynek intuitív megfogalmazása és ellentétes következményei vannak, a determinizmus axiómája éppen ellenkezőleg, nem nyilvánvaló megfogalmazással rendelkezik, de következményei sokkal jobban összhangban vannak az intuícióval . A determinizmus axiómájából következik a megszámlálható választás axiómája, de nem a teljes választási axióma [9] .

A determinációs axióma következményei számos helyzetben ellentmondanak a választási axióma következményeinek - például a determinációs axiómából az következik, hogy a valós számok összes halmaza Lebesgue-mérhető , míg a választás axiómája a valós számok halmaza, amely nem Lebesgue-val mérhető. A determinizmus axiómáját használva szigorúan bebizonyítható, hogy a megszámlálható hatvány és a kontinuum hatványa között nincs köztes hatvány , miközben ez az állítás független a választási axiómától [12] .

Lásd még

A halmazelmélet axiomatikája

Jegyzetek

↑ A család a matematikában halmazok halmaza.
↑ 1 2 Választási axióma // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovsky K. , Mostovsky A. Halmazelmélet / Angolból fordította M. I. Röviden szerkesztette A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - S. 61 . — 416 p.
↑ 12 John L. Bell . A választás axiómája . Stanford Filozófiai Enciklopédia . Letöltve: 2020. március 17. Az eredetiből archiválva : 2020. március 14. (határozatlan)
↑ Csomó, Bryan. Matematikai tévedések és paradoxonok. "A választási axióma" fejezet . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Matematikai Könyvek). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Elemek: A bizonyíthatóság határai . Letöltve: 2009. szeptember 12. Az eredetiből archiválva : 2012. január 11.. (határozatlan)
↑ Vilenkin N. Ya. Történetek a díszletekről. - 3. kiadás - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 p. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. Halmazelmélet és a kontinuumhipotézis. - Moszkva: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Bevezetés az axiomatikus halmazelméletbe. oktatóanyag. - Petrozavodsk, 2000. - 104 p. — 2.4.
↑ Jevgenyij Vectomov. Matematika: Matematikai alapstruktúrák 2. kiadás. Tanulmányi útmutató akadémiai alapképzéshez . - Liter, 2018. - P. 26. - 297 p. Archiválva : 2018. augusztus 18. a Wayback Machine -nál
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. (1962). A választási axiómának ellentmondó matematikai axióma. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 4, 37.

Irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába . — M .: Nauka, 1977. — 368 p. (elérhetetlen link) - 3. fejezet, 4. §.
Kanovey VG A választás axiómája és a determinizmus axiómája. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (A tudomány és a műszaki haladás problémái).
Medvegyev F. A. A választás axiómájának korai története . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Archiválva : 2015. október 28. a Wayback Machine -nél
Medvegyev F. A. A választás axiómája és a matematikai elemzés // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1980. - 25. sz . - S. 167-188 .
Útmutató a matematikai logikáról. rész II. Halmazelmélet = Matematikai logika kézikönyve / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 p.