A megszámlálható választás axiómája

A megszámlálható választás axiómája a halmazelmélet egyik axiómája, amelyet általában jelölnek . Az axióma kimondja, hogy a nem üres halmazok bármely megszámlálható családjához létezik egy „ választási függvény ”, amely minden halmazból kivon egy és csak egy elemét. Más szóval, nem üres halmazok sorozatához megszerkeszthető a képviselőik sorozata , míg a halmazok lehetnek végtelenek, sőt megszámlálhatatlanok [1] .

Az axióma helye a matematikában

A megszámlálható választás axiómája a teljes választási axióma ( ) korlátozott változata , ez utóbbitól eltérően csak egy megszámlálható halmazcsaládra állítja a választási függvény létezését. Ahogy Paul Cohen bebizonyította , a megszámlálható választás axiómája független a halmazelmélet egyéb axiómáitól (a választás axiómája nélkül) [2] . A teljes választási axiómától eltérően a megszámlálható választás axiómája nem vezet a labda megduplázódásának paradoxonához vagy más ellentétes következményhez.

A megszámlálható választás axiómája elegendő az elemzés fő tételeinek igazolására . Ebből különösen a következő [3] :

• bármely határponthoz létezik hozzá konvergáló sorozat;
• a Lebesgue mérték megszámlálhatóan additív;
• minden végtelen halmaz tartalmaz egy megszámlálható részhalmazt.

A halmazelméleti állítások jelentős része azonban nem igazolható a megszámlálható választás axiómájával. Például annak bizonyításához, hogy minden halmaz jól rendezhető , teljes választási axiómára van szükség.

Létezik egy kicsit erősebb változata a „ függő választás axiómája ” ( ). A megszámlálható választás axiómája következik belőle, valamint a determinizmus axiómájából ( ).

Irodalom

• Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — M .: Nauka, 1977. — 368 p. — 3. fejezet, 4. §.
• Kanovey VG A választás axiómája és a determinizmus axiómája. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (A tudomány és a műszaki haladás problémái).
• Medvegyev F. A. A választás axiómájának korai története . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Archiválva : 2015. október 28. a Wayback Machine -nél
• Medvegyev F. A. A választás axiómája és a matematikai elemzés // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1980. - 25. sz . - S. 167-188 .
• Útmutató a matematikai logikáról. rész II. Halmazelmélet = Matematikai logika kézikönyve / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 p.
• Herrlich, Horst. Választási alapelvek az elemi topológiában és elemzésben  (angol)  // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - 1. évf. 38, sz. 3 . — 545. o.
• Potter, Michael. Halmazelmélet és filozófiája: Kritikai bevezetés . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 .  (Angol)

Jegyzetek

1. ↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 9.
2. ↑ Potter, 2004 , p. 164.
3. ↑ Kanovey V.G., 1984 , p. 6, 9.