Helyes térkép (gráfelmélet)

A szabályos térkép egy zárt felület szimmetrikus csempézése . Pontosabban, a megfelelő térkép egy kétdimenziós sokaság például egy gömb , egy tórusz vagy egy valódi projektív sík ) topológiai korongokra való felosztása, úgy, hogy minden zászló (csúcs-él-felület beeső hármas) szimmetria -transzformációs dekompozícióval bármely más jelzőbitre lefordítható . A reguláris térképek bizonyos értelemben a szabályos poliéderek topológiai általánosításai . A térképek elmélete és osztályozása a Riemann-felületek elméletéhez , a Lobacsevszkij-geometriához és a Galois-elmélethez kapcsolódik . A szabályos diagramokat a megfelelő felület tájolhatósága , az alapul szolgáló gráf vagy a csoport automorfizmusa szerint osztályozzák .

Áttekintés

A megfelelő térképeket általában háromféleképpen határozzák meg és tanulmányozzák: topológiailag, csoportelméleti és gráfelméleti szempontból.

Topológiai megközelítés

A topológia szempontjából a térkép egy zárt kompakt 2 sokaság 2 cellás dekompozíciója.

Az M térkép g nemzetségét az Euler-reláció adja meg , amely egyenlő a -val, ha a térkép tájolható, és a -vel , ha a térkép nem tájolható. A kritikus körülmény az a tény, hogy a tórusz kivételével bármely orientálható nemzetséghez véges (nullától eltérő) számú helyes térkép létezik. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ $2-2g$ $2-g$

Csoportelméleti megközelítés

A permutációs csoportok elmélete szempontjából egy reguláris M leképezés egy tranzitív C permutációs csoport a szabad involúciók által generált zászlók halmazán , három fix ponttal , amelyek kielégítik a feltételt . Ebben a definícióban a lapok a pályák , az élek a pályák és a csúcsok a pályák . Elvontabb módon bármely szabályos diagram csoportautomorfizmusa a <2,m,n> háromszögcsoport nem degenerált homomorf képe . $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Gráfelméleti megközelítés

A gráfelmélet szempontjából a térkép egy köbös gráf , amelynek élei kék, sárga és piros színűek úgy, hogy össze vannak kötve, minden csúcs beesik az egyes színek éleibe, és a nem sárga színű élciklusok hossza 4. Vegye figyelembe, hogy egy térkép sík gráfja vagy gráfkódolt térképe ( angolul graph-encoded map , GEM), amely a zászlók halmazán van definiálva csúcsként , és nem a G=(V,E) váza. térkép. Általános esetben . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Az M térkép akkor és csak akkor helyes, ha Aut(M) rendszeresen hat a zászlókra. Egy szabályos leképezés Aut( M ) tranzitív az M csúcsain, élein és lapjain . Egy M leképezést akkor és csak akkor mondjuk tükörszimmetrikusnak, ha Aut( M ) szabályos, és olyan automorfizmust tartalmaz, amely mind a v csúcsait, mind az f lapjait rögzíti , de megfordítja az élek irányát. Egy szabályos diagramot, amely nem tükörszimmetrikus, királisnak mondjuk . $\phi$

Példák

A nagy dodekaéder egy szabályos térkép ötszögletű lapokkal a 4. nemzetség tájékozható felületén.
A félkocka egy {4,3} típusú szabályos térkép a projektív síkon .
A félidodekaéder egy szabályos térkép, amelyet a Petersen-gráf ötszögletű beágyazása generál a projektív síkban.
p- Az oszoéder egy {2,p} típusú szabályos térkép. Vegye figyelembe, hogy az oszoéderek ebben az értelemben nem absztrakt poliéderek . Különösen nem felelnek meg a gyémánt tulajdonságainak .
A Dyck térkép egy 12 oktaéder szabályos térképe egy 3. nemzetséghez tartozó felületen. Az alatta lévő Dyck-gráf 16 hatszögből álló szabályos térképet is alkothat egy tóruszon.

Az alábbi táblázat a helyes diagramok teljes listáját mutatja pozitív Euler-karakterisztikával , χ-gömbbel és projektív síkkal [1] .

χ	g	Schläfli	Csúcsok	borda	arcok	Csoport	Rendelés	Grafikon	Megjegyzések
2	0	{p,2}	p	p	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Dihedron
2	0	{2,p}	2	p	p	C 2 × Dihp	4p _	p -fold K 2	Osoéder
2	0	{3,3}	négy	6	négy	S4_ _	24	K4 _	Tetraéder
2	0	{4,3}	nyolc	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	Kocka
2	0	{3,4}	6	12	nyolc	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Oktaéder
2	0	{5,3}	húsz	harminc	12	C2 × A5 _ _	120		Dodekaéder
2	0	{3,5}	12	harminc	húsz	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	ikozaéder
egy	n1	{2p,2}/2	p	p	egy	Dih 2p _	4p _	Cp _	Féléder [2]
egy	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih 2p _	4p _	p -fold K 2	Félhoszeéder [2]
egy	n1	{4,3}/2	négy	6	3	S4_ _	24	K4 _	Fél kocka
egy	n1	{3,4}/2	3	6	négy	S4_ _	24	2x K 3	Féloktaéder
egy	n1	{5,3}/2	tíz	tizenöt	6	A5_ _	60	Petersen grófja	Szemidodekaéder
egy	n1	{3,5}/2	6	tizenöt	tíz	A5_ _	60	K6 _	Félikozaéder

Az alábbi képek a hármas tóruszban lévő 20 szabályos kártya közül hármat mutatnak be a Schläfli szimbólumokkal .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Toroidális poliéder

Mozaik példák

{4.4} 1.0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3.6} 1.0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

A szabályos térképek toroid alakú poliéderek formájában léteznek euklideszi burkolólapok véges részei formájában, amelyek egy duocilinder felületébe vannak burkolva, mint lapos tórusz . Ezek a címkék {4,4} b , c , ha a {4,4} [3] négyzet alakú csempével vannak társítva , mint amikor a háromszög alakú csempével vannak társítva {3,6}, és mint {6,3 } b . c , ha a hatszögletű burkolathoz van társítva {6,3}. A b és c indexek egész számok [ 4] . 2 speciális eset ( b ,0) és ( b , b ) tükörszimmetrikus, bár általános esetek léteznek királis párokban ( b , c ) és ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

A {4,4} m ,0 formájú szabályos térképek véges szabályos ferde poliéderként ábrázolhatók {4,4| m }, amely egy m × m -es duoprizma négyzetes lapja 4-es méretben.

Az alábbiakban egy példa látható a {4,4} 8,0 -ra, amely egy sakktábla lapról hengerre , majd tóruszra van leképezve . A hengerből a tóruszba való vetítés 3D-ben torzítja a geometriát, de 4D-ben torzítás nélkül is megvalósítható.

Helyes térképek nulla Euler karakterisztikával [5]

g	Schläfli	Csúcsok	borda	arcok	Csoport	Rendelés	Megjegyzések
egy	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Lapos toroid poliéder Ugyanaz, mint a {4,4 \| b }
egy	{4,4} b , b n =2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Lapos toroid poliéder Ugyanaz, mint a teljes csonka {4,4 \| b }
egy	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Síkbeli királis toroid poliéder
egy	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Lapos toroid poliéder
egy	{3,6} b , b t =2 b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Lapos toroid poliéder
egy	{3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Síkbeli királis toroid poliéder
egy	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Lapos toroid poliéder
egy	{6,3} b , b t =2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Lapos toroid poliéder
egy	{6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Síkbeli királis toroid poliéder

Általában egy szabályos toroidális { p , q } b , c definiálható, ha p vagy q páros, bár a fenti euklideszi 4-es dimenzióban csak egy toroidális politóp létezhet. {2 p , q } esetén. az utak ( b , c ) egy vonalon lap-él-lapként definiálhatók, míg a duális { p ,2 q } alakokban a ( b , c ) utak csúcs-él-csúcsként képzelhetők el.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Sequin. Alacsony nemzetségű, nem tájolható reguláris térképek szimmetrikus bemerítései . Berkeley Egyetem . Letöltve: 2020. március 5. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 23. (határozatlan)
↑ Coxeter és Moser 1980 , p. 8.3 {4,4} típusú térképek tóruszon.
↑ Coxeter és Moser 1980 , p. 8.4 {3,6} típusú térképek tóruszon.
↑ Coxeter és Moser 1980 , p. 8. fejezet, Szabályos térképek , 8.3 {4,4} típusú térképek tóruszon, 8.4 {3,6} vagy {6,3} típusú térképek tóruszon.

Irodalom

Coxeter HSM, Moser WOJ . — 4. - Springer Verlag, 1980. - 14. kötet - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Fordítás:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Diszkrét csoportok elemeinek generálása és kapcsolatainak meghatározása / V.A. Churkin, szerkesztette: Yu.I. Merzlyakova .. - Moszkva: "Nauka" A fizikai és matematikai irodalom fő kiadása, 1980.
Jack van Wijk. Zárt felületek szimmetrikus csempézése: szabályos térképek megjelenítése // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). - 2009. - T. 28 , sz. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Archiválva az eredetiből 2011. június 9-én.
Marston Conder, Dobcsány Péter. A kis nemzetségek összes szabályos térképének meghatározása // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2001. - V. 81 , no. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Térképek, hipertérképek és kapcsolódó témák . – 2007.
András Vince. Térképek // Gráfelmélet kézikönyve. – 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Poliéderes térképek // A diszkrét és számítási geometria kézikönyve. – 2004.