Poincare-sejtés

A Poincaré-sejtés egy bizonyított matematikai sejtés , amely szerint bármely egyszerűen összekötött , kompakt 3 - sokatúra határ nélkül homeomorf egy 3 -gömbhöz . Henri Poincare matematikus 1904 -ben megfogalmazott sejtését Grigory Perelman 2002-2003-as cikksorozata bizonyította . Miután a matematikai közösség 2006-ban megerősítette a bizonyítást, a Poincare-sejtés lett az ezredforduló első és eddig (2022-ben) egyetlen megoldott problémája .

Az általánosított Poincaré-sejtés az az állítás, hogy bármely -dimenziós sokaság akkor és csak akkor homotopikusan ekvivalens egy -dimenziós szférával, ha homeomorf vele. A fő Poincare-sejtés az általánosított sejtés speciális esete . A 20. század végére ez az eset maradt az egyetlen bizonyítatlan eset. Így Perelman bizonyítása az általánosított Poincaré-sejtés bizonyítását is kiegészíti. $n$ $n$ $n=3$

Bizonyítási séma

A Ricci-áramlás egy határozott parciális differenciálegyenlet , hasonlóan a hőegyenlethez . Lehetővé teszi a Riemann-metrika deformálását egy sokaságon, de a deformáció során lehetséges "szingularitások" kialakulása - olyan pontok, ahol a görbület a végtelenbe hajlik, és a deformáció nem folytatható. A bizonyítás fő lépése az ilyen szingularitások osztályozása a háromdimenziós orientált esetben. Szingularitáshoz közeledve az áramlást leállítják és " műtétet " hajtanak végre - egy kis összefüggő alkatrészt kidobnak, vagy egy "nyakat" kivágnak (vagyis egy nyílt területet, amely diffeomorf egy közvetlen termékkel ), és a kapott két lyukat. két golyóval vannak lezárva, hogy a kapott elosztó metrikája kellően sima legyen - ezután folytassa a deformációt a Ricci áramlás mentén. $(0,1)\szer S^{2}$

A fent leírt folyamatot "Ricci-áramlás műtéttel"-nek nevezik. A szingularitások osztályozása arra enged következtetni, hogy minden "eldobott darab" különbözik egy gömb alakú térformától .

A Poincaré-sejtés bizonyításakor egy tetszőleges Riemann-metrikával kezdünk egy egyszerűen összekötött 3-sokadon , és műtéttel alkalmazzuk rá a Ricci-áramlást. Fontos lépés annak bizonyítása, hogy egy ilyen folyamat eredményeként mindent „kidobnak”. Ez azt jelenti, hogy az eredeti elosztó gömb alakú térformák halmazaként ábrázolható, amelyek csövekkel kapcsolódnak egymáshoz . Az alapcsoport számítása azt mutatja, hogy térbeli formák halmazának összefüggő összegével diffeomorfikusan , sőt, mind triviális. Tehát egy gömbhalmaz összefüggő összege, azaz egy gömb. $M$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $[0,1]\szer S^{2}$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $\Gamma _{i}$ $M$

Történelem

1900- ban Henri Poincaré úgy sejtette, hogy az összes homológiacsoportot tartalmazó 3-sokaság, például egy gömb, homeomorf egy gömbhöz. 1904 - ben talált egy ellenpéldát is, amelyet ma Poincaré-gömbnek hívnak , és megfogalmazta sejtésének végső változatát. A Poincaré-sejtés bizonyítására tett kísérletek számos előrelépéshez vezettek a sokaságok topológiájában.

A Poincaré-hipotézis sokáig nem keltette fel a kutatók figyelmét. Az 1930-as években John Whitehead felélesztette az érdeklődést a sejtés iránt egy bizonyíték bejelentésével, de aztán felhagyott vele. A keresés során talált néhány érdekes példát egyszerűen összekapcsolt nem kompakt 3 sokaságra, nem homeomorf , amelyek inverz képe Whitehead sokaságként ismert . $\mathbb {R} ^{3}$

Az általánosított Poincare-sejtés bizonyítékait az 1960-as és 1970-es évek elején Smale szinte egyidejűleg szerezte be , függetlenül és más módszerekkel Stallings (mert bizonyítását Zeeman esetekre is kiterjesztette ). Egy sokkal bonyolultabb esetre csak 1982 -ben szerzett bizonyítékot Friedman . Novikov tételéből a Pontrjagin-féle karakterisztikus osztályok topológiai változatlanságáról az következik , hogy léteznek homotopikusan ekvivalens, de nem homeomorf sokaságok nagy dimenziókban. $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ $n=5,6$ $n=4$

Az eredeti Poincare-sejtés (és az általánosabb Thurston-sejtés ) bizonyítékát Grigory Perelman találta meg, és 2002-2003 -ban három cikkben tette közzé az arXiv webhelyen. Ezt követően, 2006-ban, Perelman bizonyítását legalább három tudóscsoport ellenőrizte és kiterjesztett formában bemutatta [1] . A bizonyítás a Ricci-áramlás módosítását használja (ún. Ricci-áramlás műtéttel ), és nagyrészt követi azt a tervet , amelyet R. S. Hamilton vázolt fel , aki szintén elsőként alkalmazta a Ricci-áramlást.

Elismerés és értékelések

1986- ban Michael Friedman Fields-érmes lett .
2006- ban Grigory Perelman lett a Fields-díjas (elutasítva).
2010 -ben a Clay Matematikai Intézet [2] Perelmant a millenniumi díjjal tüntette ki (elutasította).

Reflexió a médiában

2006-ban a Science folyóirat Perelman bizonyítékát a Poincare-sejtésre " Az év tudományos áttörésének " nevezte [3] . Ez az első olyan matematikai munka, amely ilyen címet érdemelt [4] .
Sylvia Nazar 2006-ban publikálta a „ Sok sors ” című szenzációs [5] című cikket , amely a Poincaré-sejtés [6] bizonyításának történetét meséli el .

Jegyzetek

↑ I. Ivanov A Poincaré-sejtés teljes bizonyítékát három független matematikuscsoport már bemutatta. Archiválva : 2007. január 7. a Wayback Machine -n 03/08/06, elementy.ru
↑ A Poincaré-sejtés megoldásáért kapott díjat Dr. Grigoriy Perelman archiválva : 2017. szeptember 8. a Wayback Machine -nél . A Clay Matematikai Intézet sajtóközleménye.
↑ Dana Mackenzie. AZ ÉV ÁTTÖRÉSE: A Poincaré-sejtés – bizonyított (angol) // Tudomány : folyóirat. - 2006. - Vol. 314. sz . 5807 . - P. 1848-1849 . - doi : 10.1126/tudomány.314.5807.1848 . (Angol)
↑ Keith Devlin. Az év legnagyobb tudományos áttörése . Amerika Matematikai Szövetsége . 2006.
↑ A „Sokféle végzet” 2007-ben szerepelt a „ The Best American Science Writing ” című könyvben.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: Egy legendás probléma és a csata, hogy ki oldotta meg // The New Yorker : magazin. - Condé Nast , 2006. - Nem. augusztus 21 . Az eredetiből archiválva: 2012. szeptember 3. Orosz fordítás: " Multiple Destiny: The Legendary Challenge and the Battle for Priority Archiválva : 2008. február 16. a Wayback Machine -nál ."

Irodalom

Ian Stewart . A legnagyobb matematikai feladatok. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Bessieres L., Besson J., Boileau M. A Poincaré-sejtés bizonyítása (G. Perelman munkái alapján) Archiválva : 2020. augusztus 4., a Wayback Machine // Mathematical Education . 2019, ser. 3. Kiadás. 24., 53-69.

Linkek

Perelman G. A Ricci-folyam entrópiaképlete és geometriai alkalmazásai (angol) - 2002. - arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci áramlás műtéttel három elosztón (angol) // ArXiv.org - 2003. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0303109
Perelman G. A Ricci-folyam megoldásainak véges kioltási ideje bizonyos három- sokatóriumokon (angol) - 2003. - arXiv:math/0307245
Milnor J. A Poincaré-sejtés 99 évvel később: Előrehaladási jelentés
S. Nikolenko. Problémák 2000: Poincaré sejtés // Computerra. - 2006. - 1-2. sz . Archiválva az eredetiből 2017. június 18-án.
Morgan J. , Tian G. Ricci Flow és a Poincare-sejtés (angol) // ArXiv.org - 2006. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott . Jegyzetek Perelman irataihoz
Terence Tao . Perelman bizonyítéka a Poincaré-sejtésre: nemlineáris PDE-perspektíva

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007559245005171 LCCN : sh2007003945 NDL : 01115553