Lineáris függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Lineáris függvény - a forma függvénye

y=kx+b

(egy változó függvényeihez).

A lineáris függvények fő tulajdonsága, hogy a függvény növekménye arányos az argumentum növekményével. Vagyis a függvény az egyenes arányosság általánosítása .

Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes , ezért a neve összefügg. Ez egy valós változó valós függvényére vonatkozik.

Esetenként a lineáris függvényeket homogénnek nevezzük (ez lényegében az egyenes arányosság szinonimája), ellentétben a nem homogén lineáris függvényekkel . $b=0$ $b\neq 0$

Tulajdonságok

$k$ ( az egyenes meredeksége ) annak a szögnek az érintője , amelyet az egyenes az x - tengely pozitív irányával zár be , és a képletből megtalálható . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
Amikor , az egyenes hegyesszöget zár be az x tengely pozitív irányával . $k>0$
Amikor , az egyenes tompaszöget zár be az x tengely pozitív irányával . $k<0$
A pontban az egyenes párhuzamos az x tengellyel . $k=0$

Az egyenletek által megadott két egyenes közötti szöget az egyenlőség határozza meg: ahol , azaz az egyenesek nem merőlegesek egymásra; mert és az egyenesek párhuzamosak. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\jobbra|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$

$b$ az egyenes y tengellyel való metszéspontjának ordinátájának indexe .
A esetén a vonal az origón halad át. $b=0$

A lineáris függvény monoton és nem konvex a definíció teljes tartományában , a függvény deriváltja és antideriváltja a következő: $(\mathbb {R} )$ $f'(x)$ $F(x)$ $f(x)=kx+b$

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Inverz függvény : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Több változó lineáris függvénye

Változók lineáris függvénye - az alak függvénye $n$ $x=(x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\pontok +a_{n}x_{n}

hol van néhány fix szám. A lineáris függvény definíciós tartománya a valós vagy összetett változók mindendimenziós tere . Amikor egy lineáris függvényt homogénnek vagy lineáris alaknak nevezünk . $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $n$ $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$ $a_{0}=0$

Ha minden változó és együttható valós szám, akkor egy lineáris függvény grafikonja a változók -dimenziós terében egy -dimenziós hipersík $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y$ $n$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\pontok +a_{n}x_{n}

különösen az at egy egyenes a síkban. $n=1$

Absztrakt algebra

A "lineáris függvény", pontosabban a "lineáris homogén függvény" kifejezést gyakran használják egy vektortér lineáris leképezésére valamely mezőn ebbe a mezőbe, vagyis olyan leképezésre , amely bármely elemre és bármilyen egyenlőségre vonatkozik. $x$ $K$ $f:X\to K$ $x,y\X-ben$ $\alpha ,\beta \in K$

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

továbbá ebben az esetben a "lineáris függvény" kifejezés helyett a lineáris funkcionális és a lineáris forma kifejezéseket is használják - egyben egy bizonyos osztály lineáris homogén függvényét is.

Logikai algebra

Egy logikai függvényt lineárisnak nevezünk, ha létezik olyan , ahol , amely bármely egyenlőségre bekövetkezik: $f(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $a_{i}\in \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Nemlineáris függvények

A nem lineáris függvényekhez használja a nemlineáris függvények kifejezést . Ugyanez vonatkozik a nemlineáris szó használatára más objektumokkal kapcsolatban, amelyek nem rendelkeznek a linearitás tulajdonságával, például a nemlineáris differenciálegyenletek esetében . Általában akkor használják a kifejezést, amikor a funkcionális függést először lineárisra közelítik, majd egy általánosabb eset vizsgálatára térnek át, gyakran kisebb hatványokból kiindulva, például másodfokú korrekciókat figyelembe véve.

A nemlineáris egyenletek meglehetősen önkényesek. Például a függvény nemlineáris . $y=x^2$

Ez a kifejezés bizonyos esetekben alkalmazható függőségekre is , ahol , azaz nem homogén lineáris függvényekre, mivel ezek nem rendelkeznek a linearitási tulajdonsággal, nevezetesen ebben az esetben és . Például nemlineáris összefüggést kell figyelembe venni egy keményedő anyag esetében (lásd plaszticitáselmélet ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau )$

Lásd még

Irodalom

Matematikai kézikönyv mérnökök és egyetemisták számára. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 pp., ill.