Szublineáris függvény

A szublineáris függvény a matematikában egy valós vektortér feletti függvény (általánosabban a valós számok mezője helyett tetszőleges rendezett mezőt tekinthetünk ), amelyre a következő feltételek teljesülnek: $f: V \jobbra nyíl \R$ $V$

f(\gammax) = \gamma f\left(x\jobb)

minden és minden x ∈ V esetén ( pozitív homogenitás ),

\gamma\in \mathbb{R}_+

f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)

minden x esetén y ∈ V (szubadditivitás).

Egyenértékű definíciók

Ezzel egyenértékűen a definícióban a szubaditivitás feltétele helyettesíthető a konvexitási feltétellel , amely szerint az egyenlőtlenségnek teljesülnie kell a függvényre:

f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)

minden x , y ∈ V és .

0 \leqslant \gamma \leqslant 1

Valójában, ha egy függvény pozitívan homogén és konvex, akkor:

f(x+y)=2f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant 2\left({\frac {1}{2}}f(x)+ {\frac {1}{2}}f(y)\right)=f(x)+f(y).

A konvexitás nyilvánvalóan a szublinearitásból és a pozitív homogenitásból is következik. Ezen alternatív definíció alapján ezt a típusú függvényt néha egyenletesen konvexnek nevezik . Egy másik elterjedt név a Banach-függvény , annak ellenére, hogy a Hahn-Banach-tétel kijelentésében ez a típusú funkcionál megjelenik .

Egy másik alternatív definíció: Egy függvény akkor és csak akkor szublineáris, ha a feltétel igaz: $f: V \jobbra nyíl \R$

f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)

minden x , y ∈ V és minden .

0 < \gamma, \delta

Példák

Minden lineáris függvény nyilvánvalóan szublineáris. A függvény is szublineáris lesz, ha lineáris. $p(x) = |f(x)|$ $f(x)$
A vektor hossza a -dimenziós euklideszi térben szublineáris függvény. Itt a szubadditivitás feltétele azt jelenti, hogy két vektor összegének hossza nem haladja meg hosszuk összegét ( a háromszög egyenlőtlenség ), és a pozitív homogenitás közvetlenül következik a vektor hosszának meghatározásából. $n$ $\R^n.$
Legyen M a korlátos sorozatok tere $x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).$

Funkcionális:

f(x) = \sup_i |x_i|

szublineáris.

Tulajdonságok

$f(0) = 0.$ Ezt az állítást úgy kapjuk meg, hogy x = 0-t behelyettesítünk a pozitív homogenitás egyenletébe.
Egy nem nulla szublineáris függvény lehet nem negatív, de ha , akkor az adott függvény mindenhol nulla. Ez következik az egyenlőtlenségből: $f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V$

0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V

miszerint ha f(x) negatív szám, akkor f(-x) pozitívnak kell lennie.

Bármelyik esetén a következő egyenlőtlenség érvényesül: $\gamma$

f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right)

Mert ez a pozitív homogenitás definíciójából következik, mert az első tulajdonságból, ha pedig, akkor az előző tulajdonság egyenlőtlenségéből kapjuk: $\gamma > 0$ $\gamma = 0$ $\gamma < 0$

0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f(x)

vagy:

f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f(x) = \gamma f(x).

Lásd még

Hahn-Banach tétel