Galerkin módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Galerkin- módszer ( Bubnov- Galyorkin módszer) egy differenciálegyenlet határérték-probléma közelítő megoldására szolgáló módszer . Itt az operátor a kívánt függvény részleges vagy teljes deriváltjait tartalmazhatja. $L[u]=f(x)$ $L[\cdot]$

A módszer alapja

A Galerkin-módszer megvalósításának első lépése egy olyan bázisfüggvénykészlet kiválasztása , amely:

teljesíti a peremfeltételeket .
végtelen számú báziselem határában teljes rendszert alkotnak .

Az alapfunkciók konkrét típusát a probléma sajátosságai és a munkavégzés kényelme határozza meg. Gyakran használják a trigonometrikus függvényeket , ortogonális polinomokat ( Legendre , Csebisev , Hermite stb. polinomjait).

A megoldást kibővítésként ábrázoljuk a bázis szempontjából:

$\psi(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

, ahol a választott bázisfüggvények, az ismeretlen súlyegyütthatók. $\phi _{k}(x)$ ${\displaystyle \alpha _{k))$

Ezután a közelítő megoldást behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, és kiszámítjuk annak eltérését . Homogén egyenlet esetén az eltérés a következőképpen fog kinézni: $L[u]=0$

$L\left[\psi (x)\right]=N(x).$

Inhomogén egyenlet esetén az eltérés így fog kinézni . $L[u]=f(x)$ $N(x)=L[\psi(x)]-f(x)$

Továbbá előterjesztik a maradéknak az alapfüggvényekre való ortogonalitás követelményét , azaz:

$\int\limits_a^b{N(x) \phi_k(x) dx} = 0.$

Innen egy homogén egyenletrendszert kapunk a bővítési együtthatókhoz, és megközelítőleg meg lehet találni a probléma sajátértékeit. ${\displaystyle \alpha _{k))$

Példa

Szemléltetésképpen tekintsünk egy közönséges differenciálegyenletet :

$\psi'' + \lambda \psi = 0,$

peremfeltételekkel:

$\psi(0) = \psi(1) = 0.$

Ennek az egyenletnek a megoldása ismert:

$\psi(x) = \sin \pi nx, \quad \lambda = \pi^2 n^2, \qquad n = 1,2..$

Az első nem triviális megoldásnál a sajátérték . $(n=1)$ $\lambda = \pi^2 \körülbelül 9869...$

Most alkalmazzuk a Galerkin-módszert. Először válasszunk egy bázisfüggvényt:

$\phi_0(x) = x(1-x), \qquad \psi(x) = a_0 \phi_0(x).$

Az egyenletbe behelyettesítve az eltérést kapjuk:

$N(x) = a(\phi'' + \lambda \phi),$

és a maradék ortogonalitás követelménye a következő formában lesz átírva:

$\int\limits_0^1{\phi'' \phi dx} + \lambda \int\limits_0^1{\phi^2 dx}=0.$

Innentől nyilvánvaló:

$\lambda = - {\int\limits_0^1{\phi''\phi dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx)) = {\int\limits_0^1{(\phi') ^2 dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx}}.$

Az itt megadott példából kiderül , hogy kevesebb mint 1,5%-kal tér el a pontos megoldástól. Nagyobb számú bázisfüggvény megadása lehetővé teszi a λ már ismert értékének finomítását, valamint a következőre vonatkozó első közelítést (n=2-nek megfelelő). $\lambda = 10$

A megoldást n függvény lineáris kombinációjaként ábrázoljuk:

$\psi(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

Aztán az eltérés:

$N = \összeg_{k=1}^n N_k(x)$ .

Tágulási együtthatók egyenletrendszere:

$\sum_{k=1}^n \alpha_k \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx} = 0, \quad j=1..n.$

Ebben az esetben a sajátértékek a rendszer megoldhatóságának feltételéből származnak ( determinánsának nullával egyenlősége ):

$\operatorname{det} \left( A_{jk} \right) = 0, \quad A_{jk} = \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx}$

Fontos megjegyezni, hogy a Galerkin-módszer konvergenciája nem mindig érhető el gyorsan. Sikeres pályázás csak az ún. önadjungált problémák, azaz invariánsok a hermitiánus ragozáshoz képest .

Fajták

A Galerkin-módszer számos továbbfejlesztett lehetőséget kínál:

A Galerkin-Petrov módszer - a megoldást az egyik alapon bővítik, és a maradék ortogonalitása szükséges egy másikhoz.
A Galerkin-Kantorovich módszer lehetővé teszi a parciális differenciálegyenletek redukálását közönséges differenciálegyenletekre. Például egy kétdimenziós feladatban a megoldást a következőképpen ábrázoljuk: és a Galerkin eljárást csak egy függvényre alkalmazzuk (itt vagy ). Ennek eredményeként egy ODE-rendszert kapunk, amelynek megoldására léteznek hatékony numerikus módszerek. Ez a technika hasonló a kvantummechanikában jól ismert Hartree-Fock módszerhez . $\psi(x,y)=\sum_n b_n X_n(x) Y_n(y),$ $X_n(x)$ $Y_n(y)$

Alkalmazás

Galerkin módszereit régóta használják mind a parciális differenciálegyenletek megoldására , mind a végeselemes módszer alapjául .

A módszer alkalmazását a hidrodinamikai áramlások stabilitási problémáinak tanulmányozására G. I. Petrov valósította meg , aki bebizonyította a Galerkin-módszer konvergenciáját egy széles egyenletosztály sajátértékeinek meghatározására, beleértve a nem konzervatív rendszerek egyenleteit is, mint pl. mint például a viszkózus folyadék rezgésegyenletei.

A hidrodinamikában a Galerkin-módszer a konvekciós problémáknál működik a leghatékonyabban, ezek ön-adjunktálása miatt. Az áramlásokkal kapcsolatos problémák nem ilyen problémák, és a módszer konvergenciája a sikertelen bázisválasztással nagyon nehéz lehet.

A név eredete

A módszer Boris Galerkin ( 1915 ) kutatásai után vált népszerűvé . Ivan Bubnov ( 1913 ) is használta a rugalmasságelméleti problémák megoldására . Ezért ezt a módszert néha Bubnov-Galyorkin módszernek nevezik . Elméletileg a módszert Mstislav Keldysh szovjet matematikus támasztotta alá 1942 - ben .

Lásd még

Weisstein, Eric W. Galerkin-módszer (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom

Vorovich II A Bubnov-Galjorkin módszerről a sekély héjak rezgésének nemlineáris elméletében. - A Szovjetunió Tudományos Akadémia jelentései, 1956. - T. 110. - 5. sz. - S. 723-726.
A. D. Lyashko . A Galerkin-típusú módszerek konvergenciájáról // Doklady AN SSSR. 1958. 120. kötet, 2. szám;
Galerkin B. G. Rudak és lemezek. Sorozat a rudak és lemezek rugalmas egyensúlyának néhány kérdésében. // Mérnöki Értesítő. - 1915. - T. 1. - S. 897-908.
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. A magasabb szintű elemzés közelítő módszerei. - 5. kiadás - L.-M., 1962.
Mikhlin S. G. Variációs módszerek a matematikai fizikában. - 2. kiadás – M.-L. – 1970.
Fletcher K. Numerikus módszerek a Galerkin-módszeren. - M.-Mir - 1988.
Itô, K. (Szerk.). "Módszerek, kivéve a különbségi módszereket." § 303I in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2. ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1139, 1980.
Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. matek.-fizika. osztály. Nachrichten, Göttingen, 1908.
Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. A mechanikai rendszerek nemlineáris rezgésének elméletének alkalmazott problémái. - M . : Felsőiskola, 1989. - 383 p. - ISBN 5-06-000091-5 .

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek