Csoportos feladat

A csoport meghatározása a csoportelméletben az egyik módszer a csoport meghatározására egy generátorkészlet és a generátorok közötti kapcsolatok halmazának megadásával . Ebben az esetben a csoportnak feladata van . $S$ $R$ $G$ $\langle S\mid R\rangle$

Informálisan akkor van ilyen feladata, ha a „ legszabadabb ” az összes olyan csoport közül, amely a -ból keletkezett és ki van téve az elemek közötti kapcsolatoknak . Formálisabban a csoport izomorf a szabad csoport faktorcsoportjával , amelyet a relációk halmazának normális lezárása generál . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Minden csoportnak van egy feladata, és ráadásul sok különböző feladat; A hozzárendelés gyakran a legkompaktabb módja egy csoport meghatározásának.

A csoportos feladatokat a csoportelmélet egy speciális ága – kombinatorikus csoportelmélet tanulmányozza .

A csoport megadásának legegyszerűbb példája egy ciklikus sorrendű csoport megadása : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Ez azt jelenti, hogy a csoport bármely eleme felírható fokozatként , és a csoport semleges eleme. $a$ ${\displaystyle a^{n))$

Kapcsolódó definíciók

A véges adott csoport (vagy egy véges csoport ) olyan csoport, amelynek véges számú generátora van, és ezekben a generátorokban véges számú reláció határozza meg .
A végesen generált csoport olyan csoport, amelynek véges számú generátora van . Minden véges adott csoport végesen generálódik.
A generátorok halmazának minimális számosságát a csoport rangjának nevezzük . $S$
- $p$ Egy csoport -rangja az alcsoportjának a legnagyobb rangja, amely egy
-elsődleges Abel-csoport . $p$

Terminológia

A „ feladat ” kifejezés nem teljesen általános. Egyes könyvek [1] [2] a " csoportos (genetikai) kód " kifejezést használják. Találkozhatunk a " csoportos reprezentáció " fogalmával is az itt tárgyalt értelemben [3] [4] [5] , az angol fordításának tekinthető . A csoportos bemutatás azonban kétértelmű, mivel a csoportreprezentáció kifejezést széles körben használják a csoportok úgynevezett lineáris reprezentációira – ez utóbbiaknak semmi közük a feladathoz, sőt bizonyos értelemben ennek az ellenkezője.

Ez utóbbit szem előtt tartva a feladatot néha " prezentációnak " is nevezik. Pontosabban egy szabad csoport hányadoscsoportjának a vizsgált csoportba való fent említett izomorfizmusa nevezhető prezentációnak . A „ko-” előtag ennek az izomorfizmusnak a kettősségét jelzi a csoport reprezentációja tekintetében, „amikor éppen ellenkezőleg, a homomorfizmus nem „G-re”, hanem „G-ből” valamilyen [jól tanulmányozott] lineáris operátorok csoportja, permutációk stb. » [6] . $G$

Tulajdonságok

Van egy olyan tétel, amely szerint egy tetszőleges csoport egy megfelelő szabad csoport faktorcsoportja valamely normál részcsoporthoz képest , így bármelyik csoportnak van feladata. Nem kell, hogy a feladat legyen az egyetlen. Nehéz bizonyítani vagy cáfolni, hogy két feladat ugyanazt a csoportot határozza meg (a régi problémanév Dan egyik problémája). Általában ez a probléma algoritmikusan eldönthetetlen . A csoportoknak több osztálya létezik, amelyekhez algoritmust készítettek ennek a problémának a megoldására. A négyféle Tietze-transzformáció lehetővé teszi, hogy a csoport egyik feladatáról a másikra jussunk: az első Tietze-transzformáció egy, a régiekből származó új reláció hozzáadása a relációk halmazához; a második Tietze-transzformáció egy új változó bevezetése a régiekkel kifejezve; a harmadik és negyedik Tietze-transzformáció inverz az elsővel, illetve a másodikkal. Tekintettel a probléma algoritmikus megoldhatatlanságára, a Tietze-transzformációk láncának megtalálása egyik reprezentációból a másikba egyfajta művészet.

Adott egy csoport, nehéz meghatározni a csoport egyéb tulajdonságait is, például sorrendjét vagy torziós alcsoportját .

Példák

Az alábbi táblázat felsorolja néhány gyakran előforduló csoport megadásának módjait. Minden esetben más lehetséges feladatok is vannak.

Csoport	Gyakorlat	Magyarázatok
Ingyenes csoport az S -en	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Egy szabad csoport „szabad” abban az értelemben, hogy semmilyen kapcsolat nem korlátozza.
Z n egy n -rendű ciklikus csoport	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n a 2 n rendű diédercsoport	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ vagy $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r jelentése forgás, s szimmetria
D ∞ egy végtelen diédercsoport	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Q 8. negyedosztály	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ vagy $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Általánosított kvaterniócsoport Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
ingyenes Abel-csoport az S -en	$\langle S\mid R\rangle$	R az S elemek összes kommutátorának halmaza
Szimmetrikus csoport S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ vagy $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\rangle$	A σ i egy olyan transzpozíció, amely az i -edik elemet felcseréli az i + 1. elemre.
Zsinór csoport B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$	Az egyetlen különbség a szimmetrikus csoporttól a relációk eltűnése . $\sigma _{i}^{2}=1$
Váltakozó csoport A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
A tetraéder forgáscsoportja , T ≅ A 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Oktaéder rotációs csoport , O ≅ S 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Ikozaéder rotációs csoport , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Coxeter csoport	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n visszaverődések a poliéder lapjaiban, és -nél , - ha a lapok nem alkotnak kétszöget a poliéderben $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Δ( l , m , n ) háromszögcsoport	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\tartomány$	a , b , c - tükröződések
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2; Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2; Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Moduláris csoport PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	A PSL(2, Z ) a Z /2 Z és Z /3 Z szabad szorzata
Mellcsoport F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - kommutátor

Lásd még

ingyenes csoport

Linkek

↑ 1.3 // Általános algebra / L. A. Szkornyakov általános szerkesztése alatt. - M . : Tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1990. - T. 1. - 592 p.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai. – Lan, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Bevezetés a csoportelméletbe. - Moszkva, Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorikus csoportelmélet. - M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Kombinatorikus csoportelmélet. Csoportok reprezentációja generátorok és kapcsolatok szempontjából. - M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu. 4. § // A kapcsolatok meghatározásának geometriája csoportokban. - M . : Tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1989. - 448 p.