Kvadratúra (matematika)

A kvadratúra ( lat.  quadratura , négyzetesítés) egy matematikai kifejezés, amely eredetileg egy alak vagy felület területének megtalálását jelentette . A jövőben a fogalom jelentése fokozatosan változott [1] . A kvadratúra problémák a 17. század végén a matematikai elemzés egyik fő forrásaként szolgáltak .

Az ókorban a kvadratúra alatt egy adott figurával egyenlő méretű (vagyis azonos területű) négyzet felépítését értelmezték egy körző és egy vonalzó segítségével . Példák: kör négyzetre emelése vagy hippokratészi lunula . Ezt követően Eudoxus kimerítési módszerét alkalmazták a fő elemzési módszernek .

A középkori Európában a kvadratúra egy adott terület területének kiszámítása volt - például egy cikloid ívének területe . Ehhez leggyakrabban az oszthatatlan módszert alkalmazták .

Az integrálszámítás megjelenésével a terület számítása az integrációra redukálódott, és a „ kvadratúra ” kifejezést az „ integrál ” ( határozott vagy határozatlan ) szinonimájaként kezdték érteni . " Szokássá vált az integrál számítását kvadratúrának nevezni " [2] .

Jelenleg a kifejezést ritkán használják, főleg a következő meghatározott kifejezésekben:

• " kvadratúra képletek " - képletek egy bizonyos integrál értékének becslésére;
• „ Kvadratúrákhoz vezet ” („ Kvadratúrákban fejez ki ”, „ Kvadratúrákban oldja meg ”) – fejezi ki a differenciálegyenlet megoldását elemi függvények kombinációinak integráljaként , pl. formában , ahol egy elemi függvény vagy ezek véges kombinációja.

Történelmi vázlat

Az ókori Görögország matematikusai a pitagoraszi doktrína szerint az alakzat területének meghatározását úgy értelmezték, mint egy adott figurával megegyező méretű négyzet körző és vonalzó segítségével történő felépítését . Innen származik a "négyszögesítés" kifejezés.

Egy a és b oldalú téglalap négyzetre emeléséhez meg kell alkotnia egy oldallal rendelkező négyzetet ( a és b geometriai átlaga ). Ehhez használhatja a következő tényt: ha e két szakasz összegére kört építünk, mint egy átmérőre, akkor a BH magasságot (lásd az ábrát) visszaállítjuk a csatlakozási ponttól a kör metszéspontjáig. , megadja a geometriai középértéküket [3] . Egy hasonló geometriai konstrukció megoldja a paralelogramma és egy háromszög négyzetre emelésének problémáját . Általánosságban elmondható, hogy a sokszög négyzetre emelésének problémáját Eukleidész Principiája oldja meg ( az I. könyv 45. tétele és a II. könyv 14. állítása).

A görbe vonalú alakzatok négyzetre emelésének problémái sokkal nehezebbnek bizonyultak. A kör négyzetre állítása , ahogy azt végül a 19. században bebizonyították (lásd a bizonyítást ), iránytű és egyenes él segítségével lehetetlen. Néhány figura esetében (például hippokratészi holdak esetében ) azonban a kvadratúrát mégis sikerült végrehajtani. Az ókori elemzés legmagasabb eredménye a gömb felületének és a parabola szegmensének Arkhimédész által végzett kvadratúrája volt :

• egy gömb felülete négyszerese a gömb nagy körének területének;
• a belőle egyenes vonallal levágott parabolaszakasz területe az ebbe a szakaszba írt háromszög területének 4/3-a (lásd az ábrát).

A bizonyításra Arkhimédész az Eudoxusig visszanyúló " kimerülés módszerét " használta . Meg kell jegyezni, hogy Arkhimédész eredménye egy gömb felületére már túlmutat a pitagoraszi definíción, mivel nem redukálódik egy négyzet explicit felépítésére.

A 17. században megjelent az „ oszthatatlanok módszere ”, kevésbé szigorú, de egyszerűbb és erősebb, mint a kimerítés módszere. Segítségével Galileo és Roberval megtalálta a cikloid ív területét , a flamand Gregoire de Saint-Vincent pedig a hiperbola alatti területet (" Opus Geometricum ", 1647), sőt Sarasát ( fr.  Alphonse Antonio de Sarasa) ), de Saint-Vincent tanítványa és kommentátora már feljegyezte ennek a területnek a logaritmusokkal való kapcsolatát [4] . John Vallis végezte el a módszer algebrazását: A végtelen aritmetika (1656) című könyvében leírta a ma integrálösszegeknek nevezett számsorok felépítését , és megtalálta ezeket az összegeket. Wallis technikáját Isaac Barrow és James Gregory írásai fejlesztették tovább ; Kvadratúrákat kaptunk egy halmaz algebrai görbére , valamint spirálokra . Huygens számos forradalomfelületet sikeresen négyzetesített ; különösen 1651-ben publikált egy munkát a kúpszeletek négyzetre emeléséről "Beszédek a hiperbola, ellipszis és kör négyzetre emeléséről" címmel.

A téma továbbfejlesztése az integrálszámítás megjelenésével függött össze , amely univerzális módszert biztosított a területszámításhoz. Ebben a tekintetben a „ négyszögesítés ” kifejezés fokozatosan kikerült a használatból, és ahol használták, az „ integrál ” kifejezés szinonimájává vált. Érdekesség, hogy Isaac Newton az integrál számunkra jól ismert leibnizi jelölése helyett megpróbálta bevezetni saját szimbólumát - egy négyzetet, amely az integrálható függvény elé került, vagy magában foglalta [5] .

Lásd még

• Quadratrix
• A kör négyzetre emelése
• Numerikus integráció
• Kvadratúra képletek listája

Irodalom

• Bashmakova I. G. Előadások a matematika történetéről az ókori Görögországban // Történelmi és matematikai kutatás . - M .: Fizmatgiz , 1958. - 11. sz . - S. 225-440 .
• Bourbaki N. A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - M . : Külföldi irodalom, 1963.
• Matematika története, A. P. Juskevics szerkesztette három kötetben, M .: Nauka.

• 1. kötet Az ókortól a modern idők kezdetéig. (1970)
• 2. kötet A 17. század matematikája. (1970)
• 3. kötet A 18. század matematikája. (1972)

Linkek

• Bendukidze A. D. Archimedes és a parabola kvadratúrája. Kvant, 1971, 7. sz., 7-10.

Jegyzetek

1. ↑ Kvadratúra // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2. - S. 793. - 1104 p.
2. ↑ Fikhtengolts G. M. . A differenciál- és integrálszámítás menete. - M . : Nauka, 1960. - T. II, 264. §.
3. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 270.
4. ↑ Bourbaki, 1963 , p. 175.
5. ↑ Bourbaki, 1963 , p. 199.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)