A Boole-függvények elméletében egy zárt osztály a logikai algebra függvényeinek halmaza , amelynek lezárása a szuperpozíció műveletére nézve önmagával egybeesik: . Más szóval, minden függvény, amely egy képlettel kifejezhető halmazfüggvényekkel , ismét benne van ugyanabban a halmazban.
1941-ben Emil Post bemutatta a zárt osztályrendszer teljes leírását, amelyet Posta rácsnak is neveznek .
Az összes lehetséges logikai függvény halmaza zárva van.
A Boole-függvények elmélete szempontjából különösen fontosak a következő zárt osztályok, amelyeket prekomplett osztályoknak neveznek :
A , kivételével a logikai függvények bármely zárt osztálya teljes egészében benne van az öt előre befejezett osztály legalább egyikében .
További fontos zárt órák:
1941-ben Emil Post kimutatta, hogy a Boole-függvények bármely zárt osztálya a fent leírt osztályok véges számú metszéspontja, teljes leírást adva a kétértékű logika zárt osztályainak szerkezetéről. Post azt is megállapította, hogy véges bázissal bármilyen zárt osztály generálható.
A logikai algebra függvényhalmazát teljes rendszernek nevezzük, ha ennek a halmaznak a lezárása egybeesik az összes függvény halmazával. (Különösen a kétértékű logikára .) Más szóval, a logikai algebra bármely függvényét ki lehet fejezni halmazfüggvényeket használó képlettel .
Post kritériuma egy szükséges és elégséges feltételt fogalmaz meg egy logikai függvényrendszer
teljességéhez: A Boole-függvények rendszere akkor és csak akkor teljes, ha nem tartalmazza teljes egészében a , , , osztályok egyikében sem .
Különösen, ha egy függvény nem szerepel a Post egyik osztályában sem, akkor önmagában egy teljes rendszert alkot. Példa erre a Schaeffer-függvény (a konjunkció tagadása ).
A Boole-függvények alábbi teljes rendszerei széles körben ismertek:
Az első rendszert például a függvények diszjunktív és konjunktív normálalak formájában való ábrázolására használják, a másodikat pedig Zhegalkin polinomok formájában .
Kevésbé ismert egyéb teljes logikai függvényrendszerek:
A teljes függvényrendszert bázisnak nevezzük, ha megszűnik teljesnek lenni, amikor bármely elemet kizárunk belőle. A fent említett teljes rendszerek közül az első nem alap, hiszen de Morgan törvényei szerint akár a diszjunkció, akár a konjunkció kizárható a rendszerből, és a maradék két függvény segítségével visszaállítható. A második rendszer az alap – mindhárom eleme szükséges a teljességhez. A Boole-függvények maximális száma a bázisban 4 lehet.
Néha olyan függvényrendszerről beszélünk, amely valamely zárt osztályban teljes, és ennek megfelelően ennek az osztálynak az alapjáról. Például a rendszert nevezhetjük egy lineáris függvényosztály alapjának.