Vonós vita

A húrról , a vibráló húrról , a hangzó húrról szóló  vita tudományos vita, amely a 18. században bontakozott ki az akkori legnagyobb tudósok között a húrrezgések tanulmányozása körül . D'Alembert , Euler , D. Bernoulli , Lagrange vett részt a vitában . A vita a függvény fogalmának meghatározásáról szólt, és a matematika számos ágára döntő hatással volt: a parciális differenciálegyenletek elméletére , a matematikai elemzésre és a valós változó függvényeinek elméletére, a trigonometrikus Fourier-sorok elméletére és az elméletre . általánosított függvények és Szobolev terek .

A vita háttere

Az oszcillációk elméleti, mechanikai szempontból történő vizsgálatának lehetősége a Newton-törvények felfedezésével ( 1687 ), valamint az infinitezimális, integrál- és differenciálszámítás elemzésének fejlődésével jelent meg. Mindazonáltal Galileo , Mersenne , Descartes , Huygens és mások különböző tanulmányokat végeztek idáig . [1] 1625 - ben Mersenne felfedezte a frekvencia , a feszültség , a keresztmetszeti terület és a húrhossz közötti összefüggést, arányosságban kifejezve. ]

Mersenne törvényét Taylor csaknem egy évszázaddal később, 1713 -ban magyarázta elméletileg . Munkája egy karakterlánc kiindulási helyzetétől való eltérését vizsgálja, függvényében kifejezve .

Taylor úgy vélte, hogy a húrnak bármely meghatározott időpontban szinusz alakúnak kell lennie (ami valójában az oszcilláló húr legegyszerűbb formája) [2] , amelynek amplitúdója az időtől függ, és minden kezdeti feltétel esetén string hajlamos ilyen "alap" állapotba kerülni (ami, mint kiderült, nem igaz). [1] Ezt a megközelítést, amelyet néha "állóhullám-módszernek" is neveznek , D. Bernoulli folytatta , de szigorú indoklást csak Fourier műveiben kapott.

Taylor azt is megállapította, hogy a húr végtelen kicsi elemére ható feszítőerő , amely annak elhajlása felé irányul, arányos a második deriválttal . Ezt követően d'Alembert nem csak a térbeli koordinátától , hanem az időtől is elkezdte figyelembe venni az eltérés függőségét . Ez lehetővé tette Newton második törvényének szigorú alkalmazását , amely azonban megkövetelte a Taylor által figyelembe vett derivált természetének újragondolását: részleges származék lett belőle . Az elem gyorsulását egy másik parciális derivált írta le: .

1747- ben d'Alembert újrafogalmazta a Taylor által talált törvényt a parciális differenciálegyenletek alapján, és felírta a húr rezgésének egyenletét a modern formájában, az úgynevezett hullámegyenletet : [2]

D'Alembert és Euler megoldásai

D'Alembert a következő megközelítést alkalmazza a húrrezgés-egyenlet megoldására. Feltételezve , észrevette, hogy ha a húr rezgések egyenlete teljesül, az egyenlőség [3]

és arra a következtetésre jutottak, hogy a differenciálforma együtthatója ennek az egyenletnek a jobb oldalának integrálásával a függvénye, és kiszámítható. Ez lehetővé teszi, hogy az első parciális deriváltjaiban olyan lineáris rendszert írjunk , amelynek megoldása megadja a függvény teljes differenciálját . Ez utóbbit ismételt integrációval állítják helyre. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy a húrrezgési egyenlet megoldását alakba írjuk

ahol és  a kezdeti feltételekből meghatározott tetszőleges függvények . D'Alembert általánosnak nevezte az ilyen megoldást , hangsúlyozva, hogy ez a [4] egyenlet különböző megoldásainak egész halmaza .

Hamarosan hasonló megoldást kapott Euler is, aki adott kezdeti húralakkal és nulla kezdősebességgel megfogalmazta azt, amit most Cauchy-problémának neveznénk. Levezetve egy húr rezgésének egyenletét és figyelembe véve azt egy tetszőlegesnek , megkapta a megoldást

kissé eltér d'Alembert megoldásától. [5] 1766- ban Euler kifejlesztett egy új módszert, amelyet ma karakterisztikák módszereként ismernek : a koordinátákra átadva az eredeti egyenletet a következő formában írja le: [5]

ami könnyen integrálható.

Annak ellenére, hogy D'Alembert és Euler az oszcillációs egyenletnek majdnem azonos formájú megoldásait kapta, jelentésüket eltérő módon érzékelték. A fő probléma az volt, hogy a kapott megoldások tetszőleges függvényeket tartalmaztak . Abban az időben azonban még nem volt általánosan elfogadott függvénydefiníció, és a matematikusok között is eltérő vélemények voltak arról, hogy mely függvények elfogadhatók az elemzés során, és melyek nem. A d'Alembert és Euler közötti nézeteltérés ebben a kérdésben egy sor publikációban csúcsosodott ki, amelyek elindították a húrvitát, amelyhez később más tudósok is csatlakoztak. [6]

Függvénydefiníció

A 17-18 . század születőben lévő matematikai elemzésében két fő megközelítés volt: a vizuális, nem szigorú mechanikai - geometriai és a formális algebrai . Ebből a két szempontból is érzékelhető volt a funkció fogalma. Mechanisztikai szempontból, Newton és Barrow idejére nyúlik vissza , a függvény egy olyan változó, amely idővel változik. Ez utóbbi ebben az esetben érvként hat [7] . A függvény másik megközelítése, amely Fermat-tól és Descartes-ig nyúlik vissza, de először kifejezetten Johann Bernoulli ( Daniel Bernoulli atyja, akiről az alábbiakban lesz szó) megfogalmazta, hogy „egy változó függvénye... olyan mennyiség, amely bármilyen módon ettől a változótól és állandóktól” [8] , vagyis valamilyen képlet, egy argumentum analitikus kifejezése (nem feltétlenül a mai értelemben vett analitikus függvény ). A függvények megszerzésére használható műveletek osztálya is változatos volt, de általában benne volt az aritmetika, a gyökkivonás és a határértékekre való átadás , ami lehetővé tette a végtelen sorozatok figyelembevételét [9] [10] . Az első megközelítés a funkciók szélesebb osztályát adta meg, de a 18. század közepére sem szigorú definíciót, sem hatékony módszereket a funkció ilyen általános koncepciójával való munkavégzéshez. a matematikusok nem rendelkeztek [11] , és az elemzésben, valamint a geometriai alkalmazásokban egy képlettel adott függvényeket tanulmányoztak [12] .

D'Alembert a húrproblémát elsősorban a tiszta matematikus pozíciójából vizsgálta, és nem tartotta céljának olyan fizikai hatások magyarázatát, mint a húr harmonikus hangja vagy a felhangok jelensége . Kicsit furcsának tűnhet, de az eredetileg fizikából származó problémák ilyen megközelítése rendkívül hatékonynak bizonyult a 18. század tudományában [13] [14] . Így egy rögzített végű és nulla kezdősebességű húr rezgését figyelembe véve d'Alembert a megoldást alakba írja

egyúttal feltételezve, hogy azt a függvényt , amely meghatározza a karakterlánc helyzetét az idő kezdeti pillanatában, egy olyan szabállyal kell megadni, amely minden valós számra érvényes (úgy, hogy a megoldást bármely időpillanatban meghatározzuk), de úgy, hogy páratlan és periodikus, 2 l hosszúságú periódussal (ahol l  a karakterlánc hossza), amely szükséges a peremfeltételek teljesítéséhez [13] .

Egy kis intervallumon át deformált húr kezdeti állapota
élénkség

Ezzel szemben Euler számára egyértelmű volt, hogy a húr az idő kezdeti pillanatában szinte tetszőleges görbe alakját kaphatja, amelyet "a kéz szabad vonzása" [6] húz . Fizikai megfontolások alapján azt javasolta, hogy vegyünk figyelembe egy, az intervallumon definiált függvényt , majd tágítsuk ki ezt a függvényt a páratlansága és periodicitása alapján minden valós számra. Az eredményül kapott objektum azonban nem volt „függvény” abban az értelemben, ahogyan azt d'Alembert (és korábban maga Euler is) belehelyezte [15] . Ezt követően Euler azt is javasolta, hogy a kiindulási feltételt (és ennek következtében a megoldást) ne egy elemző kifejezéssel, hanem többel is megadhassuk („darabonként elemző” feladat), majd ezt követően teljesen felhagyott az elemzési feladattal [6] . Különösen megengedte a nem sima függvényeket „törésekkel” a gráfban – amelyek természetesek, ha egy pontban húzott karakterláncot veszünk figyelembe [16] .

Egy pontban megrajzolt karakterlánc kezdeti állapota
élénkség

D'Alembert megjegyezte, hogy lehetetlen egy tetszőleges görbét figyelembe venni, mivel ez "ellentmond az elemzés minden szabályának" [17] , és ragaszkodott ahhoz, hogy a kezdeti feltételt egy periodikus, páratlan és mindenhol differenciálható függvénynek kell megadnia [16] . Külön kritika érte a „gyűrűs” függvények használatát. D'Alembert azt írta, hogy maga az oszcillációs egyenlet megköveteli, hogy a megoldásnak legyen legalább második parciális deriváltja. Ha azonban a kezdeti feltétel valamikor megszakadt, akkor a talált képletekkel kapott megoldás egy adott időpontban, bármely előre meghatározott ponton nem sima. Így nem tudta kielégíteni az egyenletet a töréspontokon [16] . Itt különös szerepet játszott a hiperbolikus parciális differenciálegyenletek (amelyhez a húrrezgés egyenlet is tartozik) azon tulajdonsága, hogy megőrizzék a kezdeti feltétel simaságát, és nem növelik azt (ami elliptikus egyenletek esetén történik ) [18 ] ] .

Euler fő válasza az általános kifogásokra az volt, hogy a parciális differenciálegyenletek tanulmányozása jelentősen eltért egy változó függvényeinek „hétköznapi elemzésétől”, ahol elsősorban az egyes analitikus kifejezések transzformációit veszik figyelembe, és nincs szükség „vegyes” függvényekre . 19] . A nem sima megoldásokkal kapcsolatos kifogásokra adott válasz abban rejlett, hogy az csak "végtelenül kicsi" mértékben különbözik a sima megoldástól, és ezt a különbséget figyelmen kívül lehetett hagyni - ami természetesen nem felelhetett meg d'Alembertnek [16] ] . Egy másik érv az volt, hogy Euler azt javasolta, hogy "feledkezzenek meg" az eredeti egyenletről, és vegyék figyelembe, hogy a jelenséget a talált általános megoldás írja le, nem pedig az egyenlet [20] .

A fizikus álláspontja: D. Bernoulli megoldása

Daniil Bernoulli vitába szállt Euler és d'Alembert között, és fizika szempontból rendkívül elvontnak minősítette megoldásaikat. Publikációiban megjegyezte, hogy ezek figyelemre méltó matematikai eredmények, de megkérdezte: „mi köze van ehhez a hangzó húroknak?” [21] .

Az oszcillációk természetére vonatkozó elképzelések alapján kidolgozza a szinuszos formájú "tiszta oszcilláció" fontos szerepének gondolatát , amely még Taylornál is megjelent. Megérzése az volt, hogy egy tetszőleges rezgés több tiszta rezgés "szuperpozíciójaként" vagy összegeként ábrázolható ( a szuperpozíció elve ), ami összhangban volt a húr megfigyelésével: hangja egy alapvető hangból és sok felhang . Bernoulli megoldást talált az oszcillációs egyenletre egy trigonometrikus sorozat összege formájában, és azzal érvelt (ismét fizikai megfontolások alapján), hogy egy ilyen sorozat tetszőleges függvényt képviselhet. Ezt a feltevést matematikailag nem tudta megerősíteni - különösen nem ismerte az ilyen sorozatok együtthatóinak kiszámításának képletét. Ennek ellenére úgy vélte, hogy megoldásának nemcsak nagyobb fizikai jelentése van, mint d'Alembert és Euler megoldásai, hanem általánosabb is [22] .

Abban az időben a sorozatok fontos tanulmányi tárgynak számítottak, és sok matematikus (köztük Newton is) úgy tekintette a hatványsorokat (valós kitevőkkel), mint az tetszőleges függvények írásának univerzális módját [23] . A trigonometrikus sorozatok megértésének szükséges szintjét azonban ekkor még nem érték el, és sem d'Alembert, sem Euler nem értett egyet abban, hogy a trigonometrikus sorozatok a függvények kellően széles osztályának leírására alkalmasak. Ezt a félreértést súlyosbította az akkoriban elterjedt felfogás, hogy ha két analitikus kifejezés egybeesik a numerikus tengely valamely részén, akkor mindenhol egybeesik. Így Euler nem tudta elhinni, hogy egy trigonometrikus sorozat csak egy kis területen megzavart húr viselkedését írja le. Kifogásokat támasztott egy sorozatként ábrázolható függvény periodicitásának követelménye is , ami természetesen következik a kifejezések periodicitásából [24] [25] .

Csak Fourier jóval későbbi munkáiban (19. század eleje) mutatták meg, hogy még a hatványsorral leírhatatlan (és a mai értelemben nem analitikus ) törésekkel rendelkező függvények is ábrázolhatók egy adott szegmensen trigonometrikusan. sorozat. A Fourier-sorok konvergenciájának kérdéseivel kapcsolatos további kutatások vezették Kantort a halmazelmélet felépítéséhez , és végül a modern funkcionális elemzés megjelenéséhez [26] .

Általános függvények

Fourier eredményei megválaszolták a karakterláncról szóló érvelés egyik kulcskérdését: a függvények széles osztályának trigonometrikus sorozattal való ábrázolhatóságát. Egy másik vitaforrás azonban – a nem sima kezdeti feltételek és ebből következően megoldások lehetőségével összefüggő paradoxon – nem csak a 18. , hanem a 19. században is nyitva maradt . Csak a XX. században oldódott meg az általánosított funkciók (elosztások) apparátusának megjelenésével [6] . Ennek az elméletnek az alapjait 1936 végén S. L. Sobolev fektette le a hiperbolikus egyenletek Cauchy-problémájának tanulmányozása eredményeként (amelyek tartalmazzák a húrrezgés egyenletét is ), és szigorúan Laurent Schwartz fejlesztette tovább az 1950 -es években [27]. .

Az ötlet az, hogy az oszcillációs egyenletet egy ekvivalens (bizonyos értelemben) integrálegyenlettel helyettesítsük , amelynek megoldását már nem a kétszeresen sima függvények osztályában keresik , hanem az úgynevezett Szobolev-terekben , amelyek a a folytonos függvények tere valamilyen speciális metrika vonatkozásában . Feltételezhető az is, hogy a nem sima függvény deriváltjai , amelyek a húroszcillációs egyenlet bal oldalán találhatók, általánosított függvények, és az egyenlőség általánosított függvények értelmében érvényes [28] .

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Juskevics 1972, p. 412.
  2. ↑ 1 2 3 Stillwell, p. 242
  3. ↑ Juskevics 1972, p. 413
  4. ↑ Juskevics 1972, p. 414
  5. ↑ 1 2 Juskevics 1972, p. 415
  6. ↑ 1 2 3 4 Juskevics 1972, p. 416
  7. ↑ Juskevics 1970, p. 143-144
  8. ↑ János. Bernoulli , Opera omnia, v. II, Lausannae-Genvae, 1742, p. 241. Op. szerint: Juskevics 1970, p. 147
  9. ↑ Juskevics 1970, p. 147
  10. ↑ Juskevics 1972, p. 250
  11. ↑ Juskevics 1970, p. 144
  12. ↑ Juskevics 1972, p. 252
  13. ↑ 12 Ravetz , p. 75
  14. ↑ Christensen, p. 36
  15. ↑ Ravetz, p. 76
  16. ↑ 1 2 3 4 Wheeler és Crummett, p. 35
  17. ↑ Kleiner, p. 287
  18. ↑ Lásd pl. Mikhailov VP Differenciálegyenletek parciális deriváltokban. - M. : Nauka, 1976. - S. 35. - 391 p.
  19. ↑ Ravetz, p. 81
  20. ↑ Ravetz, p. 83
  21. ↑ Ravetz, p. 78
  22. ↑ Juskevics 1972, p. 417-418
  23. ↑ Juskevics 1972, 250-251
  24. ↑ Juskevics 1972, p. 418
  25. ↑ Kleiner, p. 285
  26. ↑ Stillwell, p. 244-245
  27. ↑ Lásd pl. Kutateladze S.S. Sergey Sobolev és Laurent Schwartz: Két sors, két dicsőség  // Szibériai ipari matematikai folyóirat. - 2008. - T. 11 , 3. sz . - 5-14 . o . Az eredetiből archiválva: 2013. október 5.
  28. ↑ Lásd pl. Mikhailov VP Differenciálegyenletek parciális deriváltokban. - M . : Nauka, 1976. - S. 266-298. — 391 p.

Irodalom