Jellegzetes módszer

A karakterisztikák módszere parciális differenciálegyenletek megoldására szolgáló módszer . Általában elsőrendű parciális differenciálegyenletek megoldására alkalmazzák, de alkalmazható magasabb rendű hiperbolikus egyenletek megoldására is.

Alapelv

A módszer abból áll, hogy a parciális differenciálegyenletet szokásos differenciálegyenletek családjára redukáljuk .

Ehhez meg kell találni a görbéket (az úgynevezett karakterisztikákat ), amelyek mentén a parciális differenciálegyenlet közönséges differenciálegyenletté alakul. Amint a közönséges differenciálegyenleteket megtaláltuk, a karakterisztikák mentén megoldhatók, és a talált megoldás az eredeti parciális differenciálegyenlet megoldásává alakítható.

Példák

Kvázilineáris egyenlet a síkban

Tekintsük a következő kvázilineáris egyenletet az ismeretlen függvényre vonatkozóan $u(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Tekintsünk egy felületet . Ennek a felületnek a normálértékét a $z=u(x,y)$ $\mathbb {R} ^{3}$

(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).

Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy az egyenlet ekvivalens azzal a geometriai állítással, hogy a vektormező

{\megjelenítési stílus (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

minden pontban érinti a felületet . $z=u(x,y)$

Ebben az esetben a karakterisztikus egyenletek a következőképpen írhatók fel: [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z) )}},

vagy ha x ( t ), y ( t ), z ( t ) a t paraméter függvényei :

{\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}

Vagyis a felületet a leírt görbék egyparaméteres családja alkotja. Egy ilyen felületet a rajta lévő vektormezőre keresztirányban egyetlen görbe teljesen meghatároz . $z=u(x,y)$ $(ABC)$

A szállítási egyenlet

Tekintsük a fenti egyenlet egy speciális esetét, az úgynevezett szállítási egyenletet (a gáz üregbe való szabad tágulásának problémájának megoldása során merül fel):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

ahol egy konstans, és a változók és a függvénye . $a$ $u$ $x$ $t$

Szeretnénk ezt az elsőrendű parciális differenciálegyenletet egy közönséges differenciálegyenletre redukálni a megfelelő görbe mentén, azaz egy ilyen alakú egyenletet kapni

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

hol van egy funkció. ${\megjelenítési stílus (x(ek),t(s))}$

Először beállítjuk

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

Ha most és -t teszünk , akkor megkapjuk ${\frac {dx}{ds}}=a$ ${\frac {dt}{ds}}=1$

a{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial u}{\partial t))

, amely annak a transzportegyenletnek a bal oldala, amellyel kezdtük. Ily módon

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.

Mint látható, az eredeti egyenlet a karakterisztika mentén ODE-vé alakul , ami azt jelenti, hogy a megoldás a karakterisztika mentén állandó. Így , ahol a pontok és fekszenek ugyanazon a jellemzőn. Látható, hogy az általános megoldás megtalálásához elegendő az egyenlet jellemzőit a következő ODE-rendszer megoldásával megtalálni: ${\megjelenítési stílus (x(ek),t(s))}$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ $(x_{s},t_{s})$ $(x_{0},0)$

${\frac {dt}{ds}}=1$ , amikor a megoldás , $t(0)=0$ $t=s$
${\frac {dx}{ds}}=a$ , amikor a megoldás , $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0))$
${\frac {du}{ds}}=0$ , amikor a megoldás . $u(0)=f(x_{0})$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

Esetünkben a karakterisztikák meredekségű egyenesek családját jelentik , és a megoldás az egyes jellemzők mentén állandó marad. $a$ $u$

A Cauchy-probléma megállapítása

Ahhoz, hogy egy adott megoldást egy általános megoldás közül választhassunk ki, fel kell vetni a Cauchy-problémát, mint a közönséges differenciálegyenletek esetében. A kezdeti feltétel az S kezdeti hiperfelületen van megadva:

$u|_{S}=f(x)$

Általános esetben szinte lehetetlen feltételt megfogalmazni a Cauchy-probléma globális megoldhatóságára, de ha a lokális megoldhatóság feltételére szorítkozunk, akkor a következő tételt használhatjuk:

A Cauchy-probléma megoldása egy pont szomszédságában létezik, és akkor egyedi, ha az áthaladó karakterisztika az S felületre keresztirányban van [2] $x_{0}\in S$ ${\displaystyle x_{0))$

Jegyzetek

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuznyecov, D. A. Shapiro A MATEMATIKAI FIZIKA MÓDSZEREI. I. rész - PDF ingyenes letöltés . docplayer.ru Letöltve: 2020. január 19. (határozatlan)

Irodalom

Courant, Richard és Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, II. kötet , Wiley-Interscience
Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method , SIAM Review 39 (2): 298-304 , DOI 10.1137/S0036144595293534
Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Parciális differenciálegyenletek (4. kiadás), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
polianin, AD; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with Applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (Nemzetközi 9. felülvizsgált kiadás), McGraw-Hill Higher Education