Diszkrét Laplace-operátor

A Laplace-transzformáció diszkrét megfelelőjét lásd: Z-transzformáció .

A matematikában a diszkrét Laplace - operátor analóg a folytonos Laplace - operátorral , amelyet egy gráfon vagy diszkrét rácson lévő kapcsolatként határoznak meg . Egy véges dimenziós gráf esetén (amelynek véges számú csúcsa és éle van) a diszkrét Laplace-operátornak általánosabb neve van: Laplace-mátrix .

A diszkrét Laplace-operátor fogalma olyan fizikai problémákból ered, mint az Ising-modell és a hurokkvantumgravitáció , valamint a dinamikus rendszerek tanulmányozása . Ezt az operátort a számítási matematikában is használják a folytonos Laplace-operátor analógjaként. A Laplace-szűrőként ismert, gyakran alkalmazzák a képfeldolgozásban . Ezenkívül az operátort a gépi tanulásban használják klaszterezéshez és félautomata tanuláshoz a szomszédsági grafikonokon.

Definíció

Képfeldolgozás

A diszkrét Laplace-operátort gyakran használják képfeldolgozásban, például élérzékelésben vagy mozgásbecslési alkalmazásokban. A diszkrét laplaciát a második derivált összegeként definiáljuk, és a központi pixel szomszédaira eső cseppek összegeként számítjuk ki.

Megvalósítás a képfeldolgozásban

Egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós jelek esetén a diszkrét laplaci konvolúció a következő kernelekkel adható meg:

1D szűrő:

{\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}

2D szűrő:

\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmátrix}}

vagy átlókkal:

2D szűrő:

\mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmátrix}}

3D szűrő:

{\displaystyle \mathbf {D} _{xyz}^{3))

az első síkra = ; a másodiknak ; a harmadiknak ${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmátrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-6&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmátrix}}$

Ezek a kernelek diszkrét parciális származékok felhasználásával származnak.

Grafikonokon

Különböző definíciók léteznek a diszkrét laplaci kifejezésre, amelyek előjelben és léptéktényezőben különböznek (néha átlagok a szomszédos csúcsokban, néha csak az összeg; ez irreleváns egy reguláris gráf esetében ).

Legyen G =( V , E ) egy gráf V csúcsokkal és E élekkel . Meghatározzuk az értékek függvényét a gráf csúcsaitól a gyűrűig . Ekkor a diszkrét laplaci a következőképpen lesz meghatározva $\phi \colon V\to R$ $R$ $\Delta$ $\phi$

(\Delta \phi )(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\left[\phi (w)-\phi (v)\right]

ahol d ( w , v ) a gráf csúcsai közötti távolságfüggvény. Ez az összeg a v legközelebbi szomszédjain van . A végső gráf csúcsai megszámozhatók, majd a leképezés felírható oszlopvektorként, melynek elemei a leképezés értékei: . A laplaci fenti definíciója vektoros formában is átírható a Laplace-mátrix segítségével : $\phi$ $\phi _{v}=\phi (v)$ $L$

{\displaystyle (\Delta \phi )(v)=(L\cdot \phi )_{v))

Ha a gráf éleinek súlya van, azaz a súlyfüggvény adott , akkor a definíciót így írhatjuk fel $\gamma \colon E\to R$

(\Delta _{\gamma }\phi )(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\gamma _{wv}\left[\phi (w)-\phi (v)\jobbra]

hol van az él súlya . $\gamma _{wv}$ $wv\in E$

Szorosan benne van az átlagoló operátor definíciójában :

(M\phi )(v)={\frac {1}{\deg v))\sum _{w:d(w,v)=1}\phi (w)

Spectrum

A diszkrét laplaci spektruma kulcsfontosságú; ha van egy önálló spektruma , akkor valódi . Ha , akkor a spektrum a szegmensben van (míg az átlagoló operátor spektrális értékei -ben vannak ), és nullát tartalmaz (állandó függvényeknél). A legkisebb nem nulla sajátértéket spektrális rést nevezzük . Általában megkülönböztetik a spektrális sugár fogalmát is, amelyet általában a legnagyobb sajátértékként határoznak meg. $\Delta =IM$ $[0,2]$ $[-1,1]$ $\lambda _{1}$

A sajátvektorok feltételtől függetlenek (szabályos gráfok esetén), és hasonlóak egy átlagoló operátor sajátvektoraihoz (különbözik is), bár a sajátértékek megegyezés szerint eltérhetnek.

Tételek

Ha egy gráf egy végtelen négyzetrács, akkor a laplaci definíciója a végtelen rács határán keresztül a folytonos laplaciushoz köthető. Például az egydimenziós esetben nálunk

{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2))}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {[F(x+\epsilon )-F( x)]+[F(x-\epsilon )-F(x)]}{\epsilon ^{2}}}.

A laplaci definíciót gyakran használják a számítási matematikában és a képfeldolgozásban . Ez utóbbi esetben egyfajta digitális szűrőnek tekintik , mint egy határszűrőnek , az úgynevezett Laplace-szűrőnek.

Diszkrét Schrödinger operátor

Legyen egy gráfon adott potenciál . Vegye figyelembe, hogy P egy multiplikatív operátornak is tekinthető, amely átlósan hat : $P:V\rightarrow R$ $\phi$

$(P\phi )(v)=P(v)\phi (v).$

Aztán ott van a diszkrét Schrödinger operátor , amely analóg a folytonos Schrödinger operátorral . $H=\Delta+P$

Ha egy csúcs éleinek száma egyenletesen korlátos, akkor H korlátos és önadjungált.

A Hamilton-féle spektrális tulajdonságai Stone-tételből származtathatók ; ez a részben rendezett halmazok és a Boole-algebra kettősségének a következménye .

Szabályos rácsokon az operátor általában rendelkezik utazóhullámmal és Anderson lokalizációs megoldásokkal is, a potenciál periodicitásától vagy véletlenszerűségétől függően.

Diszkrét Green függvény

A diszkrét Schrödinger operátor Green funkcióját a lineáris operátor rezolvenciája adja meg :

G(v,w;\lambda )=\langle \delta _{v}|{\frac {1}{H-\lambda }}|\delta _{w}\rangle

ahol a grafikon Kronecker-szimbólumaként értendő : azaz egyenlő 1 -gyel, ha v = w , ellenkező esetben 0 - val. ${\displaystyle \delta _{w))$ ${\displaystyle \delta _{w}(v)=\delta _{wv))$

Fix és összetett esetén a Green függvényt v függvényének tekintjük, ami az egyenlet egyedi megoldása. $w\in V$ $\lambda$

(H-\lambda )G(v,w;\lambda )=\delta _{w}(v).

Lásd még

Laplace mátrix

Linkek

A spektrális rés meghatározása és alkalmazása