Hiperoperátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Hiperoperátor - a hagyományos aritmetikai műveletek általánosítása - összeadás , szorzás és hatványozás , amelyeket 1., 2. és 3. rendű hiperoperátoroknak tekintenek - magasabb rendűekre ( tetració , pentáció és így tovább).

A nem kommutativitás miatt (általános esetben) a hiperoperátornak két inverz funkciója van - a hipergyökér és a hiperlogaritmus. Az összeadás és szorzás hipergyökereje és hiperlogaritmusa egybeesik, kivonást és osztást képezve , de már a hatványozásnál az inverz függvények eltérőek lesznek ( gyök és logaritmus ). Az inverz műveletek tetszőleges sorrendű hiperoperátorra általánosítanak.

Történelem

Történelmileg az első hiperoperátor az Ackermann-függvény (1928), amelyet egy mindenütt definiált, nem primitíven rekurzív , három argumentumból álló kiszámítható függvény példájaként szerkesztettek meg úgy, hogy az összeadás, szorzás és hatványozás műveleteit határozza meg: $\varphi(a,b,n)$ $n=0,1,2$

\varphi (a,b,0)=a+b

\varphi (a,b,1)=a\cdot b

{\displaystyle \varphi (a,b,2)=a^{b))

;

Knuth nyíl jelölésével [ 1] :

\varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}(b+1)

Ezt követően Goodstein olyan függvénysorozatokat fejlesztett ki, amelyek pontosabban valósítják meg a hiperoperátorok koncepcióját.

Definíció

A és argumentumokkal rendelkező sorrendű hiperoperátor (a továbbiakban: ) rekurzív módon úgy van definiálva, hogy a sorrendi hiperoperátort ismételten alkalmazzuk azonos argumentumok sorozatára (a szorzástól kezdve, mindegyik egyenlő értékkel ): $n$ $a$ $b$ $a^{(n)}b$ $n-1$ $b$ $a$

összeadás és - növelje a számot az egységek számával, egyenlő : $a$ $b$ $a$ $b$ $a{^{{(1)}}}b=a+\alsó zárójel {1+1+\pontok +1}_{{b}}=a+b$
szorzás - egy szám hozzáadásával szorzat : $a$ $b$ $a$ $b$ $a{^{{(2)}}}b=\aláhúzás {a+a+\pontok +a}_{{b}}=a\times b$
Ha a -t b hatványára emeljük , akkor egy számot önmagával megszorozunk : $a$ $b$ $a{^{{(3)}}}b=\aláhúzás {a\times a\times \ponts \times a}_{{b}}=a^{b}$
$...$
$a{^{{(n)}}b=\zárójel {a^{{((n-1)}}a^{{(n-1)}}\pontok a^{{(n-1) } }a}_{{b}}$

Az utolsó kifejezésben a műveleteket jobbról balra hajtjuk végre, ami azért lényeges, mert a sorrendi hiperoperátorok sem nem kommutatívak , sem nem asszociatívak . A 4., 5. és 6. rendű hiperoperátorokat tetraciónak , pentációnak és hexációnak nevezik. $n>2$

A legegyszerűbb esetben a változók értékei természetes számokra korlátozódnak . A hiperoperátorok tetszőleges valós vagy komplex számokra történő lehetséges általánosításait még kevesen tanulmányozzák. $a$ $b$ $n$ $n\geqslant 4$

A különböző matematikusok különböző módon jelölik a hiperoperátorokat; Whip nyilakat $\felfelé nyíl$ használ , Conway nyilakat $\nak nek$ : _

a{^{{(n)}}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{{n-2}}b=a\to b\to (n- 2)

Alternatív műveletek

Alternatív műveletet kaphatunk balról jobbra történő számítással, és az összeadási és szorzási műveletek kommutativitása és asszociativitása miatt ez a művelet egybeesik a hiperoperátorral : $n<4$

$a+b=(a+(b-1))+1$ ,
$a\times b=(a\times (b-1))+a$ ,
$a^{b}=(a^{{(b-1)}})\times a$ .

Egy hiperoperátor esetében a balról jobbra történő számítás (vagyis az alternatív művelet) eltér a hiperoperátortól, és más eredményre vezet, például a tetraciós hiperoperátort kapjuk : . $n\geqslant 4$ $n=4,a=3,b=3$ $3\uparrow ^{2}3={}^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7{\text{ }}625{\text{ }} 597{\text{ }}484{\text{ }}987$

De az erőtorony balról jobbra történő kiszámítása hibás eredményhez vezet: . $3^{3^{3}}\neq \left(3^{3}\right)^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19{\text { }} 683$

Jegyzetek

↑ Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. Az első példa egy rekurzív függvényre, amely nem primitív rekurzív // Historia Mathematica. — 1979-11. - T. 6 , sz. 4 . – S. 380–384 . — ISSN 0315-0860 . - doi : 10.1016/0315-0860(79)90024-7 .

Irodalom

Evnin A. Yu. Szuperképességek és különbségeik // Matematikai oktatás. - 2001. - 1. szám (16) . - S. 68-73 .
Shustov VV Általános numerikus művelet és néhány tulajdonsága. - 2008. - 64 p. - ISBN 978-5-382-00546-1 .

Nagy számok
Számok	googol Shannon szám Googolplex Skewes szám Moser szám Graham szám FA (3) Rayo szám
Funkciók	Ackermann függvény Veblen funkció Buchholz Pszi-függvényei tetració Pentation Hiperoperátor Gyorsan növekvő hierarchia Lassan növekvő hierarchia Hardy hierarchia
Jelölések	Steinhaus-Moser jelölés Knuth nyíl jelölése Conway nyíl jelölése Massive Bowers jelölés