Konvex geometria

A konvex geometria a geometriának egy olyan ága , amely konvex halmazokat vizsgál , főleg az euklideszi térben . A konvex halmazok természetesen számos területen előfordulnak, beleértve a számítási geometriát , a konvex elemzést , a kombinatorikus geometriát , a funkcionális elemzést , a számgeometriát , az integrál geometriát , a lineáris programozást , a valószínűségszámítást .

A "konvex geometria" kifejezést a kombinatorika is használja a konvex halmazok egyik absztrakt modelljének neveként, amelyek közül az egyik egyenértékű az antimatroidokkal .

Történelem

A konvex geometriához való hozzájárulások nyomon követhetők Euclid Principiájában . A konvex görbe és felület pontos meghatározását Arkhimédész A gömbről és hengerről című értekezésében adta meg .

A tudományág a 19. század végén a matematika önálló ágává vált, elsősorban Hermann Brunn és Hermann Minkowski kettes és harmadik dimenziós terekre vonatkozó munkáinak köszönhetően. Eredményeik jelentős részét hamarosan magasabb dimenziós terekre is általánosították.

Az irányvonal jelentősége az alkalmazott problémáknál a 20. század közepén nyilvánult meg, amikor a konvex optimalizálás (konvex programozás ) fejlődése a konvex testekkel kapcsolatos tényekbe ütközött. A tény az, hogy számos klasszikus egyenlőtlenség és a 20. század elején kapott tetszőleges konvex testekre kapott becslés nem nagyon (vagy egyáltalán nem) függ a tér méretétől, ez lehetővé tette az „átok” elkerülését. dimenzió” - hagyományos probléma az alkalmazott matematikában, amikor a probléma összetettsége katasztrofálisan nő a változók számának növekedésével [1] .

Az euklideszi tér konvex geometriájáról szóló első átfogó felmérést 1934-ben Tommy Bonnesen és Werner Fenchel [2] publikálta . 1993-ban Gruber és Wils ( németül: Jörg Wills ) szerkesztésében megjelent egy kétkötetes "Handbook of Convex Geometry", amely a 20. században kapott eredményeket is tartalmazza [3] .   

Jegyzetek

  1. ↑ V. Yu. Protasov, Konvex geometria: Minkowski munkáitól a modern optimalizálási problémákig. Nyári iskola "Modern Mathematics", Dubna, 2011. [1] Archivált : 2016. március 4. a Wayback Machine -nél
  2. ↑ Bonnesen, Édeskömény, 2002 .
  3. ↑ Gruber, Wils, 1993 .

Linkek