Monoton funkció

A monoton függvény egy változó függvénye, amely a valós számok bizonyos részhalmazán van definiálva, és amely vagy nem csökken mindenhol (definíciós tartományában), vagy nem növekszik mindenhol. Pontosabban olyan függvény, amelynek at növekménye nem változtat előjelet, vagyis vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív [1] . Ha ezen felül a növekmény nem egyenlő nullával, akkor a függvényt szigorúan monotonnak nevezzük . $f$ $\Delta f=f(x')-f(x)$ $\Delta x=(x'-x)>0$ $\Delta f$

Egy függvényt növekvőnek nevezünk, ha az argumentum nagyobb értéke nem felel meg a függvény nem kisebb (más terminológiában több) értékének. Egy függvényt csökkenőnek nevezünk, ha az argumentum nagyobb értéke nem felel meg a függvény nagyobb (más szóhasználatában kisebb) értékének.

Definíciók

Legyen akkor adott függvény $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$

függvényt ha - val növekvőnek nevezünk $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)\geq f(y)

függvényt szigorúan növekvőnek nevezünk , ha $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)>f(y)

egy függvényt ha - val csökkenőnek nevezünk $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)\leq f(y)

egy függvényt szigorúan csökkenőnek nevezünk , ha $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)<f(y)

Egy (szigorúan) növekvő vagy csökkenő függvényt (szigorúan) monotonnak mondunk.

Egyéb terminológia

Néha a növekvő ( csökkenő ) függvény kifejezések szigorúan növekvő (csökkenő ) függvényt jelentenek . Ekkor egy nem szigorúan növekvő (csökkenő) függvényről azt mondjuk, hogy nem csökkenő ( nem növekvő ) [2] :

Egy függvényt növekedésnek nevezünk valamilyen intervallumon, ha bármely két pontra és erre az intervallumra, úgy, hogy , . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})<f(x_{2})$
Egy függvényt csökkenőnek nevezünk valamely intervallumon, ha bármely két pontra és erre az intervallumra, úgy, hogy , . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})>f(x_{2})$
Egy függvényt nem csökkenőnek nevezünk valamely intervallumon, ha bármely két pontra és erre az intervallumra, úgy, hogy , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$
Egy függvényt nem növekvőnek nevezünk valamely intervallumon, ha bármely két pontra és erre az intervallumra, például , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$
A növekvő és a csökkenő függvényeket szigorúan monotonnak , a nem csökkenő és a nem növekvő függvényeket - monotonnak nevezzük .

A monoton függvények tulajdonságai

Az intervallumon definiált monoton függvény Borel szigma- algebrákhoz képest mérhető .
Egy zárt intervallumon definiált monoton függvény korlátos . Különösen Lebesgue integrálható . $f:[a,b]\ to \mathbb{R} ,$
A monoton függvénynek csak az első típusú megszakadásai lehetnek . Konkrétan a megszakítási pontok halmaza legfeljebb megszámlálható .
A monoton függvény szinte mindenhol differenciálható a Lebesgue -mértékhez képest . $f:(a,b)\to \mathbb{R}$

Egy függvény monotonitásának feltételei

(Annak a függvénynek a monotonitásának kritériuma, amelynek deriváltja van egy intervallumon) Legyen a függvény folytonos, és legyen deriváltja minden pontban Akkor $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a, b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ $f$ akkor és csak akkor nem csökken $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ $f$ akkor és csak akkor nem növekszik $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$
(Elegendő feltétele annak a függvénynek a szigorú monotonitásának, amelynek deriváltja van egy intervallumon) Legyen a függvény folytonos, és legyen deriváltja minden pontban . $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a, b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ ha majd szigorúan növeli $\forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,$ $f$ $(a, b);$ ha akkor szigorúan csökken $\forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,$ $f$ $(a, b).$

Ennek fordítva általában nem igaz. Egy szigorúan monoton függvény deriváltja eltűnhet . Azonban azoknak a pontoknak a halmazának, ahol a derivált nem egyenlő nullával, sűrűnek kell lennie az intervallumon . Pontosabban: $(a, b).$

(Az intervallumon deriválttal rendelkező függvény szigorú monotonitásának kritériuma) Legyen és az intervallumon mindenhol definiálva a derivált Akkor szigorúan növekszik az intervallumon , ha a következő két feltétel teljesül: $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $f'(x).$ $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$
$\forall (c,d)\alhalmaz (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.$

Hasonlóképpen, szigorúan csökken egy intervallumon , ha és csak akkor, ha a következő két feltétel teljesül: $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$
$\forall (c,d)\alhalmaz (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.$

Példák

A függvény a teljes számegyenesen szigorúan növekszik annak ellenére , hogy a pont stacionárius , azaz . ezen a ponton . $f(x)=x^{3}$ $x=0$ $f'(x)=0$
A függvény nem csak nyitott , hanem zárt intervallumon is szigorúan növekszik . $f(x)=\sin x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $[-\pi /2;\pi /2]$
A kitevő szigorúan növekszik a teljes számegyenesen . $f(x)=e^{x}$
Egy konstans nem nő és nem csökken egyszerre a teljes számegyenesen. $f(x)\equiv a,\;a\in {\mathbb {R}}$
A Cantor-létra a folytonos monoton függvény példája, amely nem konstans, de deriváltja szinte minden ponton nulla.
A Minkowski-függvény egy példa egy szinguláris, szigorúan növekvő függvényre.

Változatok és általánosítások

A topológiai terek közötti leképezést monotonnak mondjuk, ha minden ponthoz kapcsolódik egy inverz kép . [3] $f\kettőspont X\Y-ra$ $y\-ban Y$ $f^{{-1}}(y)$

Jegyzetek

↑ Monoton függvény / Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 4. fejezet Függvényfolytonosság // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 146. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Collins, PJ (1971). Konkordáns leképezések és tetszőleges folytonos függvény konkordáns-disszonáns faktorizálása. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.