Valódi analitikus funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Valós analitikus függvény egy valós függvény , amely az egyes pontok közelében hatványsorral ábrázolható . Ekvivalens definíció: egy valós függvény, amely a definíciós tartomány minden pontjának közelében egyenlő a Taylor-sorral [1] .

Definíció

Legyen meghatározva a definíciós tartományának egy belső pontján . Egy függvényt analitikusnak nevezünk egy pontban , ha ennek a pontnak a szomszédságában egy hatványsorral reprezentálható, amelynek középpontja ebben a pontban van. Ez azt jelenti, hogy a pont valamely szomszédságában a függvény a következőképpen van ábrázolva $f\colon G\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $a\in G$ $f$ $a$ $a$ $f$

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n))

[1] .

Ez a meghatározás általánosítható sok változóból álló függvény esetére . Legyen most több változó függvénye, legyen a definíciós tartomány belső pontja. Egy függvényt analitikusnak nevezünk egy pontban , ha ennek a pontnak a szomszédságában többszörös hatványsorral reprezentálható, amelynek középpontja ebben a pontban van, azaz így ábrázolható. $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $a\in G$ $f$ $a$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }b_{i_{1}, \ldots ,i_{n}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{i_{n}}-a_{i_{n}} )^{i_{n}}

[2] .

Egy vektorfüggvényt akkor nevezünk analitikusnak egy ponton , ha minden komponense analitikus abban a pontban. [3] ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $a\in G$

Egy függvényt analitikusnak nevezünk egy nyitott halmazon , ha a halmaz minden pontján analitikus. A nyitott halmazon elemző összes függvény halmazát [4] jelöljük . $f$ $G$ $G$ $C^{\omega }(G)$

Egy függvényt analitikusnak nevezünk, ha a definíciós tartományában analitikus. [3] $f$

Taylor sorozat

Ha egy változó függvényét egy hatványsor egy pontjának szomszédságában bővítjük ki , akkor ezen a ponton minden rendű deriváltja van, és ennek a sorozatnak az együtthatóit a következő képlettel számítjuk ki: $a$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n))$

b_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}

Így a pont környékén $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}

[5]

Hasonlóképpen, sok változó függvényében az analititás pontjában minden rendű és vegyes parciális derivált létezik. $a$

b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}={\frac {1}{i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{ 1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}

Majd a pont környékén $a$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {1}{ i_{1}!\lpontok i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_ {1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{ i_{n}}-a_{i_{n}})^{i_{n}}

[6]

Ezeket a képleteket triviálisan származtatják differenciáló hatványsorok segítségével.

Ahhoz, hogy egy ilyen együtthatójú hatványsort definiálhassunk, elegendő, ha egy ponton minden rendű derivált létezik. Ez egyáltalán nem jelenti a függvény analitikusságát: egy ilyen sorozat nem eshet egybe a pont egyetlen szomszédságában sem, vagy általában csak magában a pontban konvergál . Ezt a sorozatot, függetlenül attól, hogy konvergál-e valahol a függvényéhez, a függvény Taylor -sorának nevezzük egy pontban . [7] Így az analiticitás egy Taylor-sorozat létezését jelenti, de az analiticitás nem következik egy Taylor-sorozat létezéséből. $a$ $f$ $a$

Az analiticitás ekvivalens definíciója a Taylor sorozat koncepcióján alapul:

Egy függvényt analitikusnak nevezünk a definíciós tartomány egy belső pontjában, ha ennek a pontnak a szomszédságában a függvény egybeesik a Taylor-sorral. [egy]

f

a

A következő példák olyan függvényeket mutatnak be, amelyek egy ponton Taylor-sorral rendelkeznek, de nem analitikusak:

$g(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2))))&x\neq 0;\\0&x=0.\end{cases))$

Megmutatható, hogy ez a függvény nullán végtelenül differenciálható, és minden deriváltja egyenlő nullával. A Taylor-sorozat pontokon megvan a formája

0

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\cdot x^{n))

. A Taylor-sor a pont szomszédságában konvergál , de egyik szomszédságában sem egyenlő a [7] függvénnyel .

0

g(x)

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n}\cos {n^{2}x))$

A pontban lévő Taylor sorozat csak a pontban konvergál . Nem konvergál a nulla egyik szomszédságában sem, és nincs értelme funkciójának egyenlőségéről beszélni. [nyolc]

0

0

h(x)

Ezek a példák azt mutatják, hogy a Taylor-sor létezése, sőt konvergenciája bizonyos körzetekben nem elegendő ahhoz, hogy a függvény analitikus legyen.

Tulajdonságok

Bármely analitikus függvény korlátlanul differenciálható , de nem minden korlátlanul differenciálható függvény analitikus. A fenti példák korlátlanul differenciálható, de nem analitikus függvények példáiként szolgálhatnak, hiszen az egydimenziós esetben a Telor-sor léte ekvivalens a végtelen differenciálhatósággal. Más szóval, van egy szigorú beillesztés:

C^{\omega }(G)\subset C^{\infty }(G)

[7] .

Az egyes változókra külön-külön végzett elemzés nem jelenti a teljes elemzést [9] . Ez a tény különbség az összetett esettől, amelyben a Hartogs-tétel szerint az egyes változókra vonatkozó analititás külön-külön magában foglalja az analitikusságot, mint egészet.

Az analitikai függvények műveletei

A tulajdonságok alkalmazhatók mind egy ponton, mind pedig egy nyílt halmaz analitikusára.

Az analitikus függvények lineáris kombinációja analitikus.
Az analitikus függvények szorzata analitikus.
Az analitikus függvények felosztása analitikus lesz egy nyitott halmazon, ha az osztó nem viszi el az értéket ebben a halmazban . Egy pontban az elemzéshez szükséges, hogy az osztó ne forduljon a pont egyik szomszédságában sem. $0$ $0$
Az analitikus függvények összetétele analitikus. Ez a következő értelemben értendő: ha analitikus -ben , analitikus -ben , akkor analitikus -ben . Halmazok esetében a következőképpen fogalmazható meg: ha a halmazon analitikus, a készlet minden pontjában analitikus , akkor a -n analitikus . $g$ $a$ $f$ $g(a)$ $f\circ g$ $a$ $g$ $A$ $f$ $g(A)$ $f\circ g$ $A$
Egy változó analitikus függvényének tetszőleges sorrendű deriváltja is analitikus. Számos változó analitikus függvényének tetszőleges sorrendű parciális deriváltjai analitikusak.
Egy változó analitikus függvényének antideriváltja analitikus. Több változó esetén általánosíthatjuk ezt a tulajdonságot, ha figyelembe vesszük az egyik változóra vonatkozó antiderivatívát.
Az előző tulajdonság egy felső változó határértékkel rendelkező integrálok formájában is megfogalmazható. Legyen egy változó függvénye analitikus egy nyílt halmazon , . $f$ $A$ $a\in A$

Ezután analitikus bekapcsolva van . Több változóból álló függvények esetén is egyszerűen csak az egyik változó feletti integrált tekinthetjük.

\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt

A

A műveletek eredménypontjain lévő Taylor-sorokat úgy kaphatjuk meg, hogy soron hajtjuk végre a megfelelő műveleteket: hatványsorok szorzása, osztása, összetétele, tagonkénti differenciálás és integrálás stb. E műveletek némelyikével a sorozatok konvergencia sugarai változhatnak [3] .

Analitika a forgatáson

Ha egy függvényt valamely nyitott halmazon egy hatványsor reprezentál (függetlenül attól, hogy melyik pontban van a középpontjában), akkor ennek a halmaznak minden pontjában analitikus. [6] De fordítva nem működik. A halmaz analitikussága egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy függvény egyetlen hatványsorral ábrázolható ezen a teljes halmazon, még akkor sem, ha ez a halmaz lehet egy hatványsor konvergenciatartománya, vagy benne is lehet. Ez csak az egyes pontok valamely szomszédságában való ábrázolhatóságát jelenti, ráadásul különböző sorokban. A szabványos példa a függvény . Az egész számegyenesen analitikus: bármely pont közelében ez a függvény egy adott pontra központosított hatványsorként ábrázolható. Egy ponton ez lesz a következő: $f$ $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ $0$

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n))

Ennek a sorozatnak a konvergencia intervalluma . Ebben az intervallumban a sorozat konvergál a funkciójához. A sorozat azonban a és pontokban eltér , annak ellenére, hogy a függvény ezekben a pontokban is analitikus. Még több is kimutatható: egyetlen hatványsor sem képes ezt a függvényt teljes egészében ábrázolni, csak egy bizonyos intervallumban. [tíz] $(-1;1)$ $x>1$ $x<-1$

Előfordulhat, hogy egy függvényelemző egy pontban nem esik egybe a Taylor-sorral a teljes konvergencia-tartományban, hanem csak bizonyos részben (például darabonkénti függvényeknél). Ha azonban a Taylor-sor konvergenciarégiójának valamelyik altartományában egy ponton a függvény analitikus, és ez az altartomány tartalmazza a pontot , akkor a függvény egybeesik az altartományban megadott sorozattal. [tizenegy] $a$ $f(x)$ $a$ $a$

Inverz és implicit függvények

Az analitikus függvények esetében léteznek az implicit és inverz függvénytétel analógjai.

Inverz függvénytétel . Legyenanalitikus egy pontban, és a Jacobi -féle ebben a pontban nem egyenlő nullával. Ekkor a pontvalamelyik szomszédságábanvan egy egyedi inverz függvény, amely analitikus a -ben. [12] ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$ $a\in G$ $U$ $a$ $f^{-1}\colon f(U)\rightarrow U$ $f(a)$
Implicit függvénytétel . Legyenésponton. Ekkor az egyenletegy analitikus implicit függvényt definiála pont valamely környezetében. Ez azt jelenti, hogy egy olyan pontvalamelyik, ahola pont szomszédsága a-ban, ésegy pont szomszédsága-ben, egyedileg definiálhatunk egy függvénytúgy, hogy, és analitikus lesz a pontban. [12] ${\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ ${\megjelenítési stílus (a,b)\in G}$ ${\bigg |}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a){\bigg |}\neq 0$ $F(x,y)=F(a,b)$ $y = f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$ $U=U_{x}\times U_{y}$ $U_x$ $a$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle U_{y))$ $b$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f\colon U_{x}\rightarrow U_{y))$ $F(x,y)=F(a,b)\balra jobbra y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $a$

Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy azt mondjuk, hogy bizonyos feltételek mellett az implicit függvény és az analitikus függvény inverze analitikus lesz. Tételek segítségével a már megtalált inverz és implicit függvények analitikussága bizonyítható, felhasználva azok egyediségét.

Az inverz függvény elemzése . Legyen a tartományok bijekciója analitikus, és a jakobiusza sehol ne egyenlő nullával – az inverze. Akkor ez analitikus. Az inverz függvény Taylor-sora a sorozatinverziós képlet segítségével számítható ki. ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow H\subset \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle f^{-1}\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow G\subset \mathbb {R} ^{n))$ $f^{-1}$
Implicit függvény elemzése . Legyen egy függvényelemző a tartományban , és legyen a Jacobi-féle minden pontban nullától eltérő. egy implicit függvény, amelyet a tartományban definiálunk, és egy egyenlettel adunk meg abban az értelemben, hogy . Akkor ez analitikus. ${\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $G$ $y$ ${\displaystyle f\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $H$ $F(x,y)=0$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $f$

Analitikus folytatás

Legyen egy függvény definiálva egy tartományban , és legyen rajta analitikus. Előfordulhat, hogy egy ponton a Taylor-sor konvergencia régiója túlmegy a régión . Ezután a függvény kiterjeszthető erre a tartományra a Taylor sorozat megfelelő értékeivel. Lehetséges, hogy új pontokon a konvergencia tartomány ismét túllép a definíciós tartományon, és a függvény ismét folytatható. Az ilyen eljárást analitikus folytatásnak [1] nevezzük . Formálisabban: $f$ $G$ $G$

Legyen definiálva egy tartományban és elemző rajta, egy tartományban definiálva és elemző rajta , és . Akkor azt mondjuk, hogy ez egy analitikus folytatása .

f

F

g

G

G\F részhalmaz

f=g

G

f

g

A tartományban található bármely függvényelemzéshez van egy maximális analitikai folytatás. Az összes többi analitikai kiterjesztést úgy kapjuk meg, hogy a maximumot a definíciós tartományukra korlátozzuk, a maximum pedig az összes analitikai kiterjesztés egyesítése. [13] Így a különböző analitikai folytatások nem adhatnak különböző értékeket egy ponton, függetlenül attól, hogy mely régiókon keresztül folytatjuk őket. Ez alapvetően különbözik a komplex elemzésben végzett analitikus folytatástól, amely különböző utakon történő analitikus folytatásnál eltérő értékeket adhat, ezért keletkeznek olyan konstrukciók, mint a többértékű analitikai függvények.

Az analitikus folytatással a teljes függvény visszaállítható egy bizonyos intervallumon belüli értékéből, még akkor is, ha a Taylor sorozata nem mindenhol konvergál. A funkciót azonban így például nem lehet visszaállítani. Egy bizonyos intervallumon belüli értékek ismeretében csak a teljes intervallumig lehet visszaállítani , de tovább nem. A definíciós tartomány különböző intervallumaiban lévő értékek nem kapcsolódnak egymáshoz. A funkció teljes visszaállításához ki kell lépni a komplex síkra. Az igazi analitikus folytatás sok olyan funkciót nem tud visszaállítani, amit az összetett vissza tud állítani. ${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$ $(-1;1)$ $(-1;1)$

Kutatás az analiticitásról

Egy függvény valódi analitikusságának bizonyításának egyik módja a komplex tartományra való átlépés. Az összetett változó függvényeinek analitikus vizsgálata sokkal egyszerűbb, és a függvény differenciálhatósági vizsgálatára redukálódik.

Egy valós függvény akkor és csak akkor analitikus egy nyitott halmazon, ha a maradék tagja a Taylor-képletben ezen a teljes halmazon nullára hajlik. [14] Ha ezt a kifejezést Cauchy alakban vagy más formában ábrázoljuk, megvizsgálhatjuk a nullához való konvergenciát, és választ kaphatunk a függvény analitikusságára.

A következő analitikai kritérium az előző módszerből származik:

Legyenek egy nyitott halmazon egy változó függvényének összes rendjének deriváltjai aggregáltan korlátosak, azaz létezik olyan ,

f

M>0

|f^{(n)}(x)|\leq M

, és nem függ a derivált sorrendjétől vagy a ponttól . Ekkor a függvény ezen a halmazon analitikus [15] .

M

x

Ezt a feltételt némileg gyengítve megkaphatjuk az analiticitás kritériumát . Az analitikai kritérium egy adott pont analitikusságára van megfogalmazva.

Legyen egy ponthoz egy intervallum , amelyen egy változó függvénye definiálva van és , valamint vannak olyan számok és

a

J

f

a\in J

C>0

R>0

{\displaystyle |f^{(n)}(x)|\leq C\cdot {\frac {n!}{R^{n))))

. Ekkor a függvény analitikus a [13] -ban .

a

Az előjelet és a kritériumot is több változós függvények esetére általánosítjuk. A jel a következőképpen van megfogalmazva.

Legyen egy nyitott halmaz összes parciális deriváltja aggregáltan korlátos, azaz létezik olyan ,

f

M>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}\right|\leq M

. Ekkor a halmaz függvénye analitikus.

Ekkor a kritérium így néz ki.

Legyen egy környéke annak a pontnak , ahol a függvény definiálva van, és vannak számok és ilyenek is

a

J

f

C>0

R>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n))))\right|\leq C\cdot {\frac {{(i_{1}+\ldots +i_{n})}!}{R^{i_{1 }+\ldots +i_{n}}}}

. Ekkor a függvény analitikus a [16] -ban .

a

Példák

Bármilyen polinom függvény .
Bármely racionális függvény a definíciós tartományában.
Az exponenciális függvény , . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $a>0$
Az aritmetikai gyökök definíciós tartományukon mindenhol analitikusak, kivéve a nullát. Így a páros fokú gyökök analitikusak a -n, a páratlan fokúak pedig analitikusak a és -on . $(0;+\infty )$ $(-\infty ;0)$ $(0;+\infty )$
Trigonometrikus és hiperbolikus függvények .
Inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvények definíciós tartományuk belső pontjain.

Lásd még

sima funkció

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Arkhipov, 1999 , p. 392.
↑ Steven, 2002 , p. 29.
↑ 1 2 3 enciklopédia matematikai real .
↑ Steven, 2002 , p. 3.
↑ Steven, 2002 , p. tíz.
↑ 12. Steven , 2002 , p. harminc.
↑ 1 2 3 Kudrjavcev, 2004 , p. 116.
↑ Gelbaum, Olmstead, 1967 , p. 91.
↑ Steven, 2002 , p. 105.
↑ Sabbat, 1967 , p. 7.
↑ Steven, 2002 , p. tizennégy.
↑ 12. Steven , 2002 , p. 47.
↑ 12. Steven , 2002 , p. tizenöt.
↑ Kudrjavcev, 2004 , p. 118.
↑ Kudrjavcev, 2004 , p. 120.
↑ Steven, 2002 , p. 34.

Irodalom

Valódi analitikus funkció . Matek enciklopédiája . Letöltve: 2022. január 26. (határozatlan)
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Előadások a matematikai elemzésről / Szerk. V. A. Sadovnichy. - 1. kiadás - M . : Felsőiskola , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. 2. kötet . - M . : Túzok, 2004. - 720 p. (Orosz)
Gelbaum B., Olmsted J. Ellenpéldák az elemzésben. — M .: Mir , 1967 . — 251 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Valódi analitikai függvények alapozója (undefined) . — 2. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .