Egész függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. július 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A teljes függvény olyan függvény, amely reguláris a teljes komplex síkban . Egy egész függvény tipikus példája a polinom vagy kitevő , valamint ezen függvények összegei, szorzatai és szuperpozíciói. Egy teljes függvény Taylor-sora a komplex változó teljes síkjában konvergál. A logaritmus és a négyzetgyök nem egész függvények.

Vegye figyelembe, hogy egy teljes függvénynek lehet szingularitása (beleértve az esszenciális szingularitást is ) a végtelenben. Amint Liouville tételéből következik , annak a függvénynek, amelynek nincs szinguláris pontja a teljes kiterjesztett komplex síkban, állandónak kell lennie (ez a tulajdonság az algebra alaptételének elegáns bizonyítására használható ).

A végtelenben lévő pólusú teljes függvénynek polinomnak kell lennie. Így minden olyan teljes függvénynek, amely nem polinom (különösen azonosan állandó), van egy lényegében szinguláris pontja a végtelenben. Az ilyen függvényeket transzcendentális teljes függvényeknek nevezzük.

Picard kis tétele jelentősen megerősíti Liouville tételét: egy egész függvény, amely nem azonosan állandó, minden összetett értéket felvesz, kivéve esetleg egyet. Példa erre az exponenciális függvény, amely a nulla kivételével minden komplex számot vesz értékként .

J. Littlewood egyik könyvében a Weierstrass-szigmafüggvényt egy egész függvény "tipikus" példájaként jelzi.

Több összetett változó esete

Egy teljes függvény figyelembe vehető a -ban . legyen többindex , _ $\mathbb {C} ^{n}$ $k$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$

A sorozatkonvergencia fogalma

$\sum _{|k|=0}^{\infty }a_{k}z^{k}(*)$

a tagok felsorolásának módjától függ, ezért ennek a sorozatnak a konvergenciájáról abszolút konvergenciát értünk : $\sum _{|k|=0}^{\infty }|a_{k}||z^{k}|<\infty$

Így ha a sorozat (*) -ben konvergál , akkor az e sorozat által képviselt függvényt teljesnek nevezzük. $\mathbb {C} ^{n}$

Végtelen szorzattá bomlás

Ahogy a meromorf függvényeket racionális törtek általánosításának tekinthetjük, a teljes függvényeket polinomok általánosításának tekinthetjük. Különösen, ha a meromorf függvények esetében általánosítható a felosztás egyszerű törtekre ( a Mittag-Leffler-tétel egy meromorf függvény felbontásáról ), akkor teljes függvényekre létezik a faktorizáció általánosítása - a Weierstrass-tétel az egész függvényekre .

Teljes függvények tere

Minden teljes függvény egy lineáris teret alkot . A teljes függvények terét (a teljes szóból ) és az esetet jelöljük . $E$ $E_{n}$ ${\displaystyle C^{n))$

(Az újabb irodalomban a teljes függvények terét jelölik $H$ )

Egy teljes függvény sorrendje

Hadd $M(r)=\max _{|z|=r}\left|f(z)\right|$

Egy egész függvényt véges rendű teljes függvénynek nevezünk , ha létezik olyan, hogy az aszimptotikus egyenlőtlenség (*) $f(x)$ $\mu>0$ $M(r)<\exp(r^{\mu })$

A teljes függvény sorrendje a szám $F z)$ $\rho \geq 0:$ ${\displaystyle \rho =\inf \left\{\mu \right\))$

Egy egész függvényre, amelynek véges rendje és nemzetsége van, a következő összefüggés igaz: . Valójában az egyik jellemző végessége magában foglalja a második végességét is. $p$ $q$ $p\leq q\leq p+1$

Egy teljes függvény típusa

Egy egész függvény véges típusú az if , amely sorrendben $F z)$ $\rho$ $\exists a>0$

M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho ))

A teljes függvény típusa rendeléskor egy szám : $F z)$ $\rho$ $\sigma \geq 0$

\sigma =\inf \left\{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho }}\right\}

a definícióból az következik, hogy:

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

Ha egy adott típusra végtelen, akkor azt mondjuk, hogy a maximális típus. $0<\rho <\infty$ $F z)$ $F z)$
Ha , akkor normál típusú. $0<\sigma <\infty$ $F z)$
Ha , akkor minimális típusú. $\sigma=0$ $F z)$

Egy teljes, exponenciális típusú függvény

A rend és a normál típus teljes függvényét exponenciális típusú teljes függvénynek nevezzük. $\rho=1$

Az e.f.e.t tere. gyakran nevezik . $P$

Borel kapcsolódó függvény

Legyen a c.f.e.t. formában jelenik meg:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!)}}z^{k}

Mindegyik c.f.e.t. funkció hozzá van rendelve:

{\displaystyle \gamma (t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{t^{k+1))))

a függvényt Borel asszociáltnak nevezzük. Ez a sorozat pontban konvergál , és a függvénynek legalább egy szingularitása van a határon $\gamma (z)$ $|t|>\sigma$ $\gamma (t)$