Mittag-Leffler tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2015. március 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Mittag-Leffler tétel a meromorf függvények felosztásáról az analitikus függvények elméletének egyik fő tétele, amely a meromorf függvények esetében a racionális függvény egyszerű törtekre bontásának analógját adja.

Tétel

Legyenek egy meromorf függvénynek olyan pólusai, amelyeknek fő részei vannak pontokban , és legyenek Taylor-bővítések szegmensei . Aztán van egy egész számok sorozata és egy teljes függvény úgy, hogy mindenre létezik egy olyan dekompozíció , amely minden véges körben abszolút és egyenletesen konvergál . $F z)$ $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k))})=G_{k}(z)$ $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p) }(0)}{p!}}z^{p}$ $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k))}\right)$ $z$ $p_{{k}}$ $f_{{0}}(z)$ $z\neq a_{{k}}$ $f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_ {k}}}\jobbra)-h_{k}^{p_{k}}(z)\jobbra\}$ $|z|\leqslant A$

Következmény

Bármely meromorf függvény ábrázolható egy sorozat összegeként , ahol egy teljes függvény, a Laurent-bővítések fő részei a pólusain , a modulusuk növekvő sorrendjében vannak számozva, és néhány polinom. $F z)$ $f(z)=h(z)+\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\jobb)$ $h$ $g_{n}$ $F z)$ $P_{n}$

Irodalom

Fuchs B. A. , Shabat B. V. Egy összetett változó függvényei és néhány alkalmazása. - M .: Nauka, 1964. - S. 313