Chi eloszlás

chi elosztás
Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Lehetőségek	$k>0\,$ (szabadságfokok)
Hordozó	$x\in [0,\infty )$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
elosztási függvény	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Várható érték	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Középső	ról ről ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3))))$
Divat	${\sqrt {k-1}}\,$ ha $k\geq 1$
Diszperzió	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Aszimmetria együttható	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$
Kurtosis együttható	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Differenciál entrópia	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Pillanatok generáló függvénye	Lásd a szövegben
jellemző funkció	Lásd a szövegben

A Chi-eloszlás egy valószínűségi változó folytonos valószínűségi eloszlása, amely a független normális valószínűségi változók négyzetösszegének négyzetgyöke. A khi-négyzet eloszláshoz kapcsolódik, és egy valószínűségi változó négyzetgyökének eloszlása a törvény szerint . $\chi ^{2}$

Ha ezek független, normális eloszlású valószínűségi változók nulla matematikai várakozással (átlaggal) és 1-gyel egyenlő varianciával , akkor a statisztika ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k))$

{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))))

a chi-törvény szerint osztják el. Ennek megfelelően, ha a szórás becslését elosztjuk -vel , ahol a khi-eloszlás átlaga, akkor a normál eloszlás szórásának torzítatlan becslését kapjuk. A chi-eloszlásnak van egy paramétere - , amely a szabadsági fokok számát adja meg (vagyis a számot ). $s$ $\mu _{1}/{\sqrt {n-1))$ ${\displaystyle \mu _{1))$ $k$ $Z_{i}$

A leghíresebb példa a Rayleigh-eloszlás (a szabadságfokok száma kettő) és a Maxwell-Boltzmann-statisztika (a szabadságfokok száma három).

Definíció

Valószínűségi sűrűség

A chi eloszlás valószínűségi sűrűsége az

f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

hol van a gamma függvény . $\Gamma(z)$

Elosztási függvény

Az elosztási függvény a következő:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

hol van a szabályosított gammafüggvény . $P(k,x)$

Függvények generálása

A momentumok generáló funkciója :

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\jobb )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\jobbra),

ahol a degenerált Kummer hipergeometrikus függvény . A jellemző funkció a következő: $M(a,b,z)$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)){2 }}\jobbra)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\jobbra).

Tulajdonságok

Pillanatok

A pillanatok kiszámítása a következő képlettel történik:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

hol van a gamma függvény . Az első hat pillanatot a következő képletekkel adjuk meg: $\Gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

\mu _{2}=k\,

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

\mu _{4}=k(k+2)\,

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,

ahol a jobb oldali kifejezéseket a gammafüggvény ismétlődési relációjával kapjuk meg:

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

Ezekből a kifejezésekből a következő képletek is előállíthatók:

Átlag : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Variancia : - az első két pillanat kifejezéseiből. $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

Aszimmetria együttható : $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$

Kurtózis együttható : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2))}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entrópia

A differenciális entrópiát a következő képlet adja meg:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

hol van a poligamma függvény . $\psi ^{0}(z)$

Kapcsolat más disztribúciókkal

Ha , akkor ( khi-négyzet eloszlás ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k))$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2))$
$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k)){\sigma _{k))}{\xrightarrow {d))\ N( 0,1)\,$ ( normál eloszlás )
Ha , akkor $X\sim N(0,1)\,$ $|X|\sim \chi _{1}\,$
Ha , akkor ( szeminormális eloszlás ) bármelyikre $X\sim \chi _{1}\,$ $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ $\sigma >0\,$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Rayleigh eloszlás )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Maxwell disztribúció )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( a standard normál valószínűségi változók második normája a khi-eloszlás szabadsági fokokkal) $k$ $k$
A chi-eloszlás a gamma-eloszlás , a Nakagami -eloszlás és a nem központi chi-eloszlás speciális esete .

A chi és khi-négyzet eloszlások típusai

Név	Statisztika
khi-négyzet eloszlás	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
nem központi khi-négyzet eloszlás	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
chi elosztás	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\jobb) ^{2}}}$
nem központi chi-eloszlás	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Lásd még

Nakagami forgalmazás

Irodalom

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1. (2010), E. függelék, 1. o. 972 .

Linkek

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html