Cauchy-féle funkcionális egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2014. január 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 20 szerkesztést igényelnek .

A függvény funkcionális Cauchy-egyenlete alakja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

Az egyenletet kielégítő függvényt additívnak nevezzük . Ez a kifejezés tetszőleges függvényekre vonatkozik, nem csak a valódira.

A Cauchy-egyenlet az egyik legrégebbi és legegyszerűbb funkcionális egyenlet , azonban valós számokban való megoldása meglehetősen bonyolult. A racionális számokban elemi matematikával igazolható, hogy létezik olyan egyedi megoldáscsalád , ahol c egy tetszőleges állandó. Ez a megoldáscsalád a valós számok halmazának egyik megoldása is. A -ra vonatkozó további korlátozások kizárhatják más megoldások létezésének lehetőségét. Például a lineáris függvények az egyetlen lehetséges megoldás, ha: $f(x)=cx$ $f$ $f(x)=cx$

$f$ folyamatos ( Cauchy bizonyítja 1821 - ben ). Ezt a feltételt 1875 -ben enyhítette Darboux , aki kimutatta, hogy egy függvény folytonossága csak egy ponton szükséges.
$f$ bizonyos intervallumon monoton .
$f$ bizonyos intervallumon felülről vagy alulról határolt (speciális eset: valamilyen intervallumon megtartja a jelet). $f$
Az argumentumértékek bizonyos intervallumához van egy nullától eltérő értékintervallum, amelyet a függvény nem vesz fel erre az intervallumra (az előző eset általánosabb változata). $f$
$f$ integrálható (különösen Lebesgue szerint ) bizonyos intervallumon.
$f$ bizonyos intervallumon mérhető .

Másrészt, ha nincsenek további korlátozások a -ra , akkor végtelenül sok más függvény is kielégíti az egyenletet (lásd a " Hamel alapjai " című cikket). Ezt 1905-ben Georg Hamel bizonyította a Hamel-alappal , és innen ered a választás axiómája . Hilbert Harmadik feladatának a többdimenziós terekre vonatkozó általánosítása ezt az egyenletet használja. $f$

A funkcionális Cauchy-egyenlet egyéb formái

A következő funkcionális egyenletek egyenértékűek az additív Cauchy-egyenlettel : $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

logaritmikus Cauchy-egyenlet (az egyik megoldáscsalád formájú ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
hatvány Cauchy-egyenlet (az egyik megoldáscsalád formájú ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
exponenciális Cauchy-egyenlet (az egyik megoldáscsalád formájú ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x}$

Ezen egyenletek degenerált megoldása a függvény . $f\left(x\right)=0$

Megoldás racionális számokban

Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok kivehetők a függvényjelből. Vegyük : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Most pedig tegyük fel : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\Jobbra f(-x)=-f(x)

Az egészet összeadva a következőket kapjuk:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Beállítása és jelölése egyedülálló megoldáscsaláddal áll rendelkezésünkre . $x=1$ $c=f\left(1\right)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Nemlineáris megoldások megléte

A nemlineáris megoldások létezésének bizonyítása nem konstruktív és a választás axiómáján alapul . Segítségével bebizonyosodik a Hamel -bázis létezése bármely vektortérben , beleértve a végtelen dimenziósakat is.

Tekintsük a mező feletti vektortérnek : Hamel-bázisa van. Vegyük az együtthatót valamilyen bázisvektor elé a szám bázis szerinti bővítésében - ez lesz az érték . Az eredményül kapott függvény racionális értékeket vesz fel (együtthatóként a kiterjesztéshez ), és nem azonos nullával ( ), ezért nem lehet lineáris. Könnyen érthető, hogy additív, azaz kielégíti a Cauchy-egyenletet. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $x$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

Általános esetben legyen a valós számok halmazának Hamel -bázisa a racionális számok mezején . Ekkor minden valóshoz tartozik egy kiterjesztése a Hamel-bázisban (ahol ), és ez a kiterjesztés egyedi a bővítési tagok és a nulla tényezős tagok sorrendjéig. Egy additív függvény esetén teljesülnie kell a feltételnek , ahol fix valós számok vannak (a racionális tényezőket ki lehet venni az additív függvény előjeléből, lásd az előző részt). Nyilvánvaló, hogy az ezzel a relációval adott függvény kielégíti az additív Cauchy-egyenletet bármely segédszámválasztás esetén . Azonban csak akkor, ha , ahol egy tetszőleges valós szám, a kérdéses függvény a lineáris függvénye . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n))$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $c$

Nemlineáris megoldások tulajdonságai

Most be fogjuk bizonyítani, hogy minden nemlineáris megoldás meglehetősen szokatlan függvény - gráfjának mindenhol sűrűnek kell lennie -ban . Ez azt jelenti, hogy a síkon bármely tetszőleges kis kör tartalmazza ennek a gráfnak legalább egy pontját. Ebből könnyen következtethetünk más tulajdonságokra is, mint például a folytonossági szakasz bármely pontján, a nem monotonitás és a határtalanság bármely intervallumban. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Ha a függvényt elosztjuk -vel , feltételezhetjük, hogy . (Ha , akkor , és az alábbi érvelés minimális változtatásokkal érvényben marad, feltételezve, hogy van olyan pont , amelyre .) Ha a függvény nem lineáris, akkor egyeseknél : beállítjuk . Most mutassuk meg, hogyan találhatunk gráfpontot egy tetszőleges körben, amelynek középpontja egy sugarú pont , ahol . Nyilvánvaló, hogy ez mindenhol elegendő a gráf sűrűségéhez . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Állítsunk be és válasszunk egy közeli racionális számot , így: $\beta ={\frac {yx}{\delta ))$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Ezután válasszon egy közeli racionális számot , így: $a$ $\alpha$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Most vegyük , és a funkcionális egyenlet segítségével kapjuk: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

De akkor , vagyis a pont a körön belül volt. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\jobbra)^{2}<r^{2}$ ${\megjelenítési stílus (X,Y)}$

Az is kimutatható [1] , hogy ha egy additív függvény nem lineáris, akkor a valós tengely bármely pontján nem folytonos lesz , és nem őrzi meg az előjelet, nem korlátos fent vagy alul, nem monoton , nem integrálható . , és nem mérhető tetszőlegesen kis intervallumon, kitöltve a fent bizonyított gráf sűrűségére vonatkozó állításnak megfelelően a síkon mindenhol , tetszőlegesen kis intervallumon, értékeivel sűrűn kitöltve a teljes valós tengelyt . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Jegyzetek

↑ Rutgers Egyetem . Letöltve: 2019. november 3. Az eredetiből archiválva : 2019. november 3. (határozatlan)

Irodalom

N. K. Verescsagin, A. Shen. A halmazelmélet kezdetei . — P. 82. — (Előadások a matematikai logikáról és az algoritmusok elméletéről).
A Cauchy-féle funkcionális egyenlet megoldása – Rutgers Egyetem