Landau szintek

Landau szintek

Valaki után elnevezve	Lev Davidovich Landau
Állapot	Szovjetunió
Felfedező vagy Feltaláló	Lev Davidovich Landau
nyitás dátuma	1930
Törvényt vagy tételt leíró képlet	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\jobbra),\qquad$

A Landau szintek a mágneses térben lévő töltött részecske energiaszintjei . Először L. D. Landau találta a Schrödinger-egyenlet megoldásaként mágneses térben lévő elektronra 1930 - ban . A probléma megoldása a kvantumharmonikus oszcillátor Hamilton -rendszerének sajátértékei és sajátfüggvényei . A Landau szintek alapvető szerepet játszanak a kinetikai és termodinamikai jelenségekben, erős mágneses tér jelenlétében.

Bevezető megjegyzések

A kvantummechanikában a koppenhágai értelmezés szerint a részecskéknek nincs határozott koordinátája, és csak arról lehet beszélni, hogy a tér egy bizonyos régiójában mekkora a valószínűsége annak, hogy részecskét találunk. Egy részecske állapotát hullámfüggvény írja le , míg egy részecske (vagy részecskerendszer) dinamikáját nem Newton második törvénye, hanem a sokkal összetettebb Schrödinger-egyenlet írja le . (A Schrodinger-egyenlet csak nem relativisztikus esetben érvényes, vagyis amikor a részecskék sebessége jóval kisebb, mint a fénysebesség, ellenkező esetben a még bonyolultabb Dirac-egyenlet érvényes .)

A Schrödinger-egyenlet jellegzetessége, hogy sajátértékei diszkrétek lehetnek. Például a bolygók tetszőleges sugarú pályán keringhetnek a Nap körül, és folyamatos energiaértékkészlettel rendelkezhetnek, a hidrogénatom elektronja pedig a szemiklasszikus közelítés szerint „kering” egy proton körül bizonyos sugarú pályán, és csak néhány megengedett energia képviselteti magát az energiaspektrumban.

A kvantummechanika törvényeinek felfedezésével felmerült a kérdés: mi történik a részecskék mozgásával a mágneses térben kvantummechanikai esetben? A probléma megoldásához meg kell oldani a Schrödinger-egyenletet. Ezt először 1930-ban Landau szovjet fizikus tette meg . [1] Kiderült, hogy a részecskék bármilyen sebességgel mozoghatnak a mágneses tér mentén, de a mágneses téren adott sebességű vetületnél a részecske csak diszkrét energiaszinteket foglalhat el. Ezeket a szinteket Landau-szinteknek nevezték.

Az alábbiakban az energiaspektrum-probléma félklasszikus megoldása, a (3), (8) Schrödinger-egyenlet és megoldása (7), továbbá:

az (1) egyenlet leírja egy részecske energiaszintjét mágneses térben (Landau-szintek),
a (10) egyenlet egy részecske energiaszintjét írja le merőleges elektromos és mágneses térben.
a (11) egyenlet egy részecske energiaszintjét írja le kétdimenziós térben.

Félklasszikus eset

A külső mágneses térben nagy sebességgel mozgó elektron Lorentz-erő hatásának van kitéve , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\pont {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

ahol az impulzusvektor, az elemi elektromos töltés , az elektron tömege, a fény sebessége vákuumban , a pont az idő függvényében történő differenciálódást jelöli. Trajektóriája egy csavarvonal, és a pálya vetülete a vektorra merőleges síkra egy sugarú kör ( a Larmor - sugár a mezőre merőleges impulzuskomponens). Az elektron pályája az impulzustérben egy sugarú kör . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $e$ $m$ $c$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

A kvantummechanika általános elvei szerint a térben korlátozott mozgásenergiát a mágneses térre merőleges síkban kvantáljuk. A szemiklasszikus közelítésben egy elektron energiaszintjeit a Lifshitz - Onsager képlet [2] alapján találhatjuk meg, ami a Bohr-Sommerfeld kvantálási szabály következménye: [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

ahol a redukált Planck-állandó , az állandó energiájú felület (gömb) keresztmetszete a sík által , a tengely a mágneses tér mentén irányul, . A kifejezés behelyettesítése a területre $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot }^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

a következőre érvényes Landau-szintekre vonatkozó kifejezést kapunk : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

ahol a ciklotron frekvencia (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

3D tok

Egy elektron energiaspektruma (az állapotától függő energiaérték) mágneses térben háromdimenziós esetben egyszerű formában van ábrázolva [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\jobbra),\qquad (1)

ahol az irányú hullámvektor , amelyet a mágneses tér irányának tekintünk. Itt az energiaspektrum könnyen értelmezhető. A mágneses tér mentén történő mozgást, ahol a mágneses tér nincs hatással egy töltött részecskére, síkhullámok ábrázolják, mint egy hullámvektorral rendelkező szabad részecskét . A mágneses térre merőleges irányú mozgás korlátozott, és az energiaspektrum teljes mértékben kvantált. Bár egy részecske mozgása háromdimenziós térben történik, az energiaspektrum csak két kvantumszámtól függ : a folytonostól és a diszkréttől . Ez azt jelenti, hogy a részecske spektruma degenerált . A háromdimenziós esetben az energia kétszeres degenerációja van a hullámvektornak a mágneses tér irányára való vetülete szempontjából . Ezen túlmenően a Landau-szint degenerációja egyenlő $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(egy)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ ${\displaystyle \pm k_{z))$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Az egyes Landau-szintek degenerációjának többszöröse megegyezik a minta keresztmetszeti területének a mágneses térre merőleges sík és a mágneses hosszával megegyező sugarú kör területének arányával. $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

amely a részecske megtalálásának nagy valószínűségű tartományának jellemző mérete.

Ezenkívül a háromdimenziós térben lévő szabad elektronok esetében a spin energiaszintjének hozzávetőlegesen kétszeres degenerációja figyelhető meg . Ez a degeneráció azonban nem triviális, mivel megköveteli, hogy a spin-down elektron Landau-szintje pontosan ugyanaz legyen, mint a felpörgő elektron Landau-szintje plusz az elektron mágneses momentuma a mágneses térben. Más szavakkal, egy elektron g-tényezőjének pontosan 2-nek kell lennie (ez, ahogy a kvantumelektrodinamika mutatja , nem teljesen igaz). Ez a követelmény még inkább nem teljesül az elektronok esetében, amelyek szilárd testben lévő kvázi részecskék (az elektron effektív tömege és mágneses momentuma csak kis mértékben függ össze). A 2-es spinnel és g-tényezővel rendelkező elektron problémája azonban elméletileg érdekes, mivel szuperszimmetria problémaként ábrázolható [5] .

A Schrödinger-egyenlet megoldásáról egy elektronra mágneses térben

A mágneses térben lévő elektron stacionárius Schrödinger-egyenlete a következőképpen van ábrázolva

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ jobb)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

ahol és az elektron impulzus operátora és a mágneses tér vektorpotenciálja , az elektronhullámfüggvény , az energia, az index pedig az n- edik Landau szintet jelöli. A Landau-szelvényben az egyenlet a formába írható $\hat{\mathbf{p}}$ ${\hat {\mathbf {A} ))$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

Az egyenlet változóinak szétválasztásához célszerű a megoldást három függvény szorzataként keresni.

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

ahol és a rendszer méretei, és hullámvektorok, a hullámfüggvény indexe azt jelenti, hogy paraméterként attól függ. -be behelyettesítve egy egydimenziós egyenletet kapunk $L_{z}$ ${\displaystyle L_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle k_{y))$ ${\displaystyle k_{y))$ $\psi _{n,k_{y))(x)$ $(5)$ $(négy)$ $\psi _{n,k_{y))(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Ez az egyenlet nem más, mint a Schrödinger-egyenlet egy kvantumharmonikus oszcillátorra a potenciál minimumának eltolódásával. Így a megoldások a következőképpen írhatók fel: [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\jobbra),\qquad (7)

hol van a rendű Hermite polinom . $H_n(x)$ $n$

Az elektromos tér hatásáról

Tekintsük most a mágneses térre merőleges elektromos tér hatását az elektron energiaspektrumára. Írjuk át az egyenletet a mentén irányított elektromos tér figyelembevételével : [6] $(6)$ $\varepsilon$ $x$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepszilon x\jobbra]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

amelyet a teljes négyzet kiválasztása után úgy ábrázolunk

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepszilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

hol és . A Hamilton-rendszerből látjuk, hogy az elektromos tér egyszerűen eltolja a hullámfüggvény középpontját. Az energia spektrumot a következő kifejezés adja: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Kétdimenziós eset

Azokban a kvantumdimenziós struktúrákban , amelyekben a töltéshordozók mozgása az egyik irányban korlátozott (például egy kvantumkút egy heterojunkció határa közelében ), az energiaspektrum diszkrétté válik a megfelelő koordináta mentén történő mozgáshoz (pl. tengely ). Ha csak egy minimális energiájú kvantumszintet töltünk ki a potenciálkútba , akkor a hordozók kétdimenziós gázként viselkednek , azaz. külső mezők hatására már nem három, hanem két lendület-összetevő változhat. [7] $z$ $E_{0}$

Ebben az esetben az elektronspektrum egyenlő távolságra lévő szintekből áll (a szintek közötti távolsággal , ahol a mágneses mező komponense határozza meg a tengely mentén ). Az elektron energia az $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Ha az energiát választjuk eredetnek, akkor a (11) képlet a következő alakot ölti: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Jegyzetek

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (német) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Lifshitz-Onsager kvantálás . Fizikai és Technológiai Enciklopédia . Letöltve: 2022. január 15. Az eredetiből archiválva : 2022. június 2. (Orosz)
↑ Abrikosov A.A. A fémek elméletének alapjai / Szerk. L.A. Falkovszkij. - Moszkva: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 p. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 3. kiadás, átdolgozva és bővítve. - M .: Nauka , 1974 . — 752 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Szuperszimmetria a kvantummechanikában // UFN. - 1985. - T. 146 , sz. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Archiválva az eredetiből 2021. július 13-án.
↑ HU ADAMS és TD HOLSTEIN. A TRANSVERZÁLIS GALVANO KVANTUMELMÉLETE – MÁGNESES JELENSÉGEK // J. Phys. Chem. szilárd anyagok. - Pergamon Press, 1959. - Vol. 10 . — P. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. ALACSONY DIMENZIÓS RENDSZEREK FIZIKÁJA / Szerk.: V. I. Iljin és A. Ya. Shik. - Szentpétervár: "Nauka", 2001. - 160 p. — ISBN 5-02-024966-1 . (Orosz)

Irodalom

Landau szintek // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia (1-2. kötet); Great Russian Encyclopedia (3-5. kötet), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .