Yang-Baxter egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. július 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Yang-Baxter egyenlet (faktorizációs egyenlet, háromszög egyenlet) a pontosan megoldható feladatok osztályába tartozó egyenlet . Lokális ekvivalencia-transzformációk formájában jelenik meg, amelyek számos esetben megjelennek, például elektromos áramkörökben , csomóelméletben és fonatelméletben , spinrendszerekben . Nevét C. N. Young 1968-as és R. D. Baxter 1971-es statisztikai mechanika önálló munkájáról kapta .

Paraméterfüggő Yang-Baxter egyenlet

Jelölje az asszociatív algebrával egységgel . A paraméterfüggő Yang-Baxter egyenlet az algebrák tenzorszorzatának paraméterfüggő invertálható elemének egyenlete (itt a paraméter , amely additív paraméter esetén általában minden valós számon, vagy minden pozitív valós számon változik számok szorzó paraméter esetén). Additív paraméter esetén a Yang-Baxter egyenlet a funkcionális egyenlet $A$ $R(u)$ $A\otimes A$ $u$

R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12 }(u),

függvényre , amelybe két és változót a megadott módon behelyettesítünk . Egyes esetekben egydimenziós projektorrá alakulhat , ami kvantumdeterminánshoz vezet. Multiplikatív paraméterek esetén a Yang-Baxter egyenletnek a következő az alakja $R$ $u$ $v$ $u$ $R(u)$

R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u) ,

függvényhez , ahol , , és , a paraméter összes értékére , valamint a , , és , az algebrai morfizmusok definíciója: $R$ $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

Egyes esetekben a meghatározó[ kétértelmű ] a spektrális paraméter bizonyos értékeinél nullázhat , sőt néha egydimenziós kivetítővé is válik. Ebben az esetben a kvantumdetermináns meghatározható. $R(u)$ ${\displaystyle u=u_{0))$ $R(u)$

A paramétertől független Yang-Baxter egyenlet

Jelölje az asszociatív algebrával egységgel . A paraméterfüggetlen Yang-Baxter egyenlet az algebrák tenzorszorzatának invertálható elemének egyenlete . A Yang-Baxter egyenletnek megvan a formája $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},

ahol , , és . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Legyen egy modul vége . Legyen egy lineáris térkép mindenki számára kielégítő . Ekkor a , , fonatcsoport reprezentációja megszerkeszthető a -ra , ahol on . Ezzel az ábrázolással határozhatjuk meg a fonatok , csomók kvázi-invariánsait . $V$ $A$ $T:V\otimes V\to V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ $x,y\in V$ $B_n$ ${\displaystyle V^{\otimes n))$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R))\otimes 1^{\otimes ni-1))$ $i=1,\dots ,n-1$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\otimes V$

Irodalom

H.D. Doebner, J.-D. Hennig, szerk., Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari és Andrew Pressley, Útmutató a kvantumcsoportokhoz , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk és Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu. I. Bevezetés a sémák és kvantumcsoportok elméletébe. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 p. - ISBN 978-5-94057-635-8 .