Kolmogorov-Chapman egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Kolmogorov - Chapman egyenlet folytonos lineáris operátorok egyparaméteres családjára topologikus vektortérben a félcsoport tulajdonságot fejezi ki : $\mathbf {P} (t),\;t>0$

\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).

Leggyakrabban ezt a kifejezést a homogén Markov véletlen folyamatok elméletében használják , ahol egy olyan operátor, amely a kezdeti időpillanatban lévő valószínűségi eloszlást az időpillanatbeli valószínűségi eloszlássá alakítja át ( ). $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ $t$ $\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$

Az inhomogén folyamatok esetében olyan kétparaméteres operátorcsaládokat tekintünk , amelyek az adott pillanatban fennálló valószínűségi eloszlást egy időpillanatbeli valószínűségi eloszlással alakítják át, számukra a Kolmogorov–Chapman egyenlet alakja $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$ $t>0$ $h>t>0.$

\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.

A diszkrét idejű rendszereknél a paraméterek természetes értékeket vesznek fel . $t,h,s$

Kolmogorov direkt és inverz egyenlete

Formálisan megkülönböztetve a Kolmogorov–Chapman egyenletet -hoz képest , megkapjuk a közvetlen Kolmogorov egyenletet : $s$ $s=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},

ahol

\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h)).

Formálisan megkülönböztetve a Kolmogorov-Chapman egyenletet -hoz képest , megkapjuk az inverz Kolmogorov egyenletet $t$ $t=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).

Hangsúlyozni kell, hogy a végtelen dimenziós terek esetében az operátor már nem feltétlenül folytonos, és nem feltétlenül definiálható mindenhol, például differenciális operátorként az eloszlások terén. ${\mathbf {Q}}$

Példák

Tekintsünk olyan homogén Markov-féle véletlenszerű folyamatokat, amelyekben az átmeneti valószínűségek operátorát az átmeneti sűrűség adja : a régióból a régióba való átmenet valószínűsége időben : . A sűrűségre vonatkozó Kolmogorov–Chapman egyenlet a következőképpen alakul: $\mathbb {R} ^{n},$ ${\mathbf {P}}(t)$ $p(t,x,y)$ $U$ $W$ $t$ $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$

p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.

-nél az átmeneti sűrűség a δ-függvényre hajlik (az általánosított függvények gyenge határértéke értelmében ): . Ez azt jelenti, hogy legyen határ (szintén általánosított függvény) $t>0,\,t\to 0$ $p(t,x,y)$ $\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (xy)$ $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$

q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (xy)}{h)).

Ekkor az operátor az as-on definiált függvényekre hat , és a Kolmogorov-féle direkt egyenlet felveszi a formát ${\mathbf {Q}}$ $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n},$ $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))p(t,x,z)q (z,y)\,dz,

és az inverz Kolmogorov-egyenlet

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))q(x,z)p(t ,z,y)\,dz.

Legyen az operátor egy másodrendű differenciáloperátor folytonos együtthatókkal: ${\mathbf {Q}}$

(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f} {\partial x^{i}\partial x^{j))}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j))} .

(ez azt jelenti, hogy az első és a második derivált lineáris kombinációja folytonos együtthatóval). A mátrix szimmetrikus. Legyen minden pontban pozitív határozott ( diffúzió ). A közvetlen Kolmogorov-egyenlet alakja $q(x,y)$ $\delta (xy)$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}{\frac {\partial ^ {2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac { \partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).

Ezt az egyenletet Fokker-Planck egyenletnek nevezik . A vektort a fizikai irodalomban drift vektornak, a mátrixot pedig diffúziós tenzornak nevezik . Ebben az esetben a fordított Kolmogorov-egyenlet ${\displaystyle b^{j))$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}a^{ij}(x ){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}( x){\frac {\partial }{\partial x^{j))}p(t,x,y).

Lásd még

Irodalom

A. D. Wentzel , A véletlenszerű folyamatok elméletének kurzusa. — M.: Nauka, 1996. — 400 p.

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai