Kummer elmélete

Az algebrai számelméletben Kummer elmélete leírást ad bizonyos típusú mezőbővítményekről , amelyek abból állnak, hogy az eredeti mezőhöz hozzáadjuk az elemétől számított n- edik fok gyökerét . Az elméletet Ernst Eduard Kummer dolgozta ki 1840 körül a Fermat-tételről szóló munkájában .

Feltéve, hogy a p mező karakterisztikája p > 0 esetén n - re másodlagos, az elmélet fő állítása nem függ a mező természetétől, ezért az általános algebrához tartozik.

Kummer elméletének van analógja az n = p esetre (Artin-Schreier elmélet). A csoport szerepét (lásd alább) ebben az esetben az eredeti mező egy egyszerű részmezőjének additív csoportja tölti be. $\mu _{n}$ $\mathbb {F} _{p}$

Ennek az elméletnek E. Wittnek köszönhető egy általánosítása is arra az esetre , amikor a Witt-vektorok felhasználásával . $n=p^{s}$ $s>1$

Kummer elmélete alapvető, például az osztálymezőelméletben és az Abel-kiterjesztések megértésében . Megállapítja, hogy az egységnek elegendő gyökere mellett a ciklikus kiterjesztések a gyökerek kinyerése szempontjából is értelmezhetők.

Kummer kiterjesztései

A Kummer-kiterjesztés az L/K mező kiterjesztése (vagyis a K mező beágyazása az L mezőbe ), oly módon, hogy valamely n > 1 egész számra a következő két feltétel teljesül:

K az egységnek n különálló n- edik gyökét tartalmazza ( vagyis az x n − 1 egyenlet összes gyökét )
Az L / K egy n fokú Abeli - Galois-csoportot tartalmaz (azaz n ennek a csoportnak az elemeinek rendjeinek legkisebb közös többszöröse ).

Például n = 2 esetén az első feltétel mindig igaz, ha a karakterisztika K ≠ 2. A Kummer-bővítések ebben az esetben L = K (√ a ) másodfokú kiterjesztéseket tartalmaznak , ahol a K -ben a nem négyzet. A másodfokú egyenletek megoldása során a K bármely 2. fokú kiterjesztése ilyen alakkal rendelkezik. A Kummer-kiterjesztés ebben az esetben kétnegyedes kiterjesztéseket és általánosabban több négyzet alakú kiterjesztést is tartalmaz . 2-vel egyenlő K karakterisztika esetén nincsenek ilyen Kummer-kiterjesztések.

n = 3 esetén a Q racionális számmezőben nincsenek 3-as fokú Kummer-kiterjesztések , mert 1-nek három kockagyökére van szükség, tehát komplex számokra van szükség . Ha L X 3 − a hasítómezeje Q felett , ahol a nem egy racionális szám kockája, akkor L tartalmaz egy K részmezőt , amelynek három kockagyöke 1. Ez utóbbi abból következik, hogy ha α és β egy köbös polinom gyökével (α/β) 3 =1-et kell kapnunk, ami egy elválasztható polinom . Így az L/K egy Kummer-kiterjesztés.

Általánosabban fogalmazva, ha K az egységnek n különálló n- edik gyökét tartalmazza , és K karakterisztikája nem osztja n -t, akkor K -hez hozzáadva a K bármely a elemének n- edik gyökét egy Kummer-kiterjesztés (az n -t osztó m hatványnak ).

Az X n − a polinom dekompozíciós mezőjeként a Kummer-bővítés szükséges az m rendű ciklikus Galois-csoport Galois- bővítményében .

Kummer elmélete

Kummer elmélete azt állítja, hogy adott K -ben egy n fokú primitív gyöke, akkor K bármely n fokú ciklikus kiterjesztése egy n fokú gyökér hozzáadásával jön létre .

Ha K × K nem nulla elemeinek multiplikatív csoportja , akkor K n fokú ciklikus kiterjesztései egyedien ciklikus alcsoportoknak felelnek meg.

K^{\times }/(K^{\times })^{n},

azaz K × modulo n- edik hatvány elemei.

A megfeleltetés a következőképpen írható fel: legyen adott egy ciklikus részcsoport

\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},

a megfelelő kiterjesztést a képlet adja meg

K(\Delta ^{1/n}),

vagyis a Δ elemek n - edik gyökének K -hez kapcsolásával.

Megfordítva, ha L Kummer kiterjesztése K -re, akkor Δ-t adjuk

\Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}.

Ebben az esetben izomorfizmusról van szó

\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n}),

képlet adja meg

a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )},

ahol α az a tetszőleges n - edik gyöke L - ben .

Általánosítások

Kummer elméletének enyhe általánosítása az n fokú Galois-csoport Abeli-féle kiterjesztéseire vonatkozik , és ebben az összefüggésben egy hasonló állítás igaz. Ugyanis bebizonyítható, hogy az ilyen kiterjesztések egyértékű alcsoportokra való leképezést jelentenek

K^{\times }/(K^{\times })^{n}.

Ha a K talajmező nem tartalmazza az egység n -edik gyökét , akkor néha izomorfizmust használnak

K^{\times }/(K^{\times })^{n}{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}H^{1}(G_{K},\mu _{n }).

Lásd még

Kvadratikus mező

Linkek

Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in JWS Cassels és A. Frohlich (szerk.), Algebraic number theory , Academic Press , 1973. III. fejezet, 85-93.
Leng S., Algebra, ford. angolból, M., 1068;
Algebrai számelmélet, ford. angolból, M., 1969;
Takahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20., 1-2. sz. 365