Witt vektor

A matematikában a Witt-vektor egy kommutatív gyűrű elemeinek végtelen sorozata .

Ernst Witt ( németül: Ernst Witt ) megmutatta, hogyan kell Witt-vektorok halmazára gyűrűszerkezetet feltenni úgy, hogy a Witt-vektorok gyűrűje egy p-rendű véges mező felett a p - adikus egész számok gyűrűje legyen .

E. Witt először 1937-ben javasolta ezeket a vektorokat a p -adikus számok elágazás nélküli mezőbővítéseinek, valamint (Witt elsődleges motivációja) a p karakterisztikus mezők ciklikus kiterjesztésének leírása kapcsán (lásd Witt 1937). Később a Witt-vektorokat alkalmazták az algebrai változatok vizsgálatában pozitív karakterisztikával rendelkező területen, valamint a kommutatív algebrai csoportok elméletében és a formális csoportok elméletében.

Motiváció

Bármely p - adikus egész szám felírható egyedileg hatványsorként , ahol általában a halmazból veszik . Ez a halmaz nem az egyetlen lehetséges ábrázolás, és Teichmüller egy másik halmazt javasolt, amely 0-ból és egy gyökéből áll . Más szóval p gyökök $a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+...$ $a_{i}$ ${0,1,2,...,p-1}$ $p-1$

x^{p}-x=0

Ez a Teichmüller-reprezentáció egy p -rendű véges mező elemeivel azonosítható (modulo p maradékok felhasználásával), így ez a reprezentáció megfeleltetést hoz létre a mezőelemek végtelen sorozata és a p -adikus számok halmaza között. $F_{p}$ $F_{p}$

Hogyan írható le explicit módon két végtelen elemsorozat összeadása és szorzása, amelyek p - adic egészek Teichmüller-reprezentációi ? Ezt a problémát Witt Witt vektorok segítségével oldotta meg. $F_{p}$

Witt-gyűrűk építése

Vegyünk egy p prímszámot . Az R kommutatív gyűrű feletti Witt-vektor R elemeinek sorozata . A Witt-polinomokat a következőképpen definiáljuk : ${X_{0},X_{1},X_{2},...}$ $W_i$

W_{0}=X_{0}

W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}

W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}

általában

W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{ni}}.

Witt megmutatta, hogy létezik egy kommutatív gyűrű (nem R - algebra!) W(R) egyedi funkcionális konstrukciója bármely R kommutatív gyűrűre úgy, hogy a W(R) elemei Witt-vektorok, és minden Witt-polinom egy a W( R ) gyűrű homomorfizmusa R -re . Ezenkívül a "funkcionális" azt jelenti, hogy a W(R) gyűrű felépítése bármely R gyűrűre egy gyűrűhomomorfizmus konstrukciót is kap minden egyes gyűrűhomomorfizmusra úgy, hogy ennek eredményeként W a kommutatív gyűrűk kategóriájából származó funktor. önmagába. $W_{n}$ $W\left(R\right)\to W\left(S\right)$ $R\to S$

A W(R) gyűrűt az R feletti Witt-vektorok gyűrűjének nevezzük . A W(R) két elemének összegét és szorzatát néhány R -től független egész együtthatójú polinom adja meg .

Az első néhány polinom, amely a Witt-vektorok összegét és szorzatát adja, explicit módon ábrázolható. Például,

( X 0 , X 1 ,…) + ( Y 0 , Y 1 ,…) = ( X 0 + Y 0 , X 1 + Y 1 + ( X 0 p + Y 0 p − ( X 0 + Y 0 ) p )/ p , …) ( X 0 , X 1 ,…) × ( Y 0 , Y 1 ,…) = ( X 0 Y 0 , X 0 p Y 1 + Y 0 p X 1 + p X 1 Y 1 , …)

Példák

Bármely R kommutatív gyűrű Witt-gyűrűje , amelyben p invertálható, egyszerűen izomorf ( R véges számú másolatának szorzatához ). Valójában a Witt-polinomok mindig homomorfizmust adnak a Witt-vektorok gyűrűjétől -ig , és ha p reverzibilis, akkor ez a homomorfizmus izomorfizmus. $R^{N}$ $R^{N}$
A p - rendű véges mező feletti Witt-gyűrű a p - adikus egész számok gyűrűje.
a véges rendű mező Witt-gyűrűje a p - adikus egészek gyűrűjének n fokának elágazás nélküli kiterjesztése . $p^{n}$

Univerzális Witt vektorok

A különféle p prímekhez tartozó Witt- polinomok az univerzális Witt-polinomok speciális esetei, amelyek használhatók univerzális Witt-gyűrűk létrehozására (nem függ p prímtől ).

Határozzuk meg az univerzális Witt-polinomokat a képletekhez $W_{n}$ $n\geq 1$

W_{1}=X_{1}

W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}

{\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3))

W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}

általában

W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.

Ezekkel a polinomokkal definiálhatunk univerzális Witt-polinomokból álló gyűrűt egy R kommutatív gyűrű felett , pontosan ugyanúgy, mint fent (tehát az univerzális Witt-polinomok az R gyűrű homomorfizmusai ).

Gyűrűs diagramok

Az R kommutatív gyűrűből egy R feletti Witt-vektorgyűrűre (fix p prím esetén) egy kommutatív gyűrűből egy kommutatív gyűrűre való leképezés , amely szintén reprezentálható , így gyűrűsémaként fogható fel , amelyet Witt-sémának nevezünk Spec( Z ) felett. A Witt-séma kanonikusan azonosítható a szimmetrikus függvények gyűrűjének spektrumával .

Hasonlóképpen, a csonka Witt-vektorok gyűrűi és az univerzális Witt-vektorok gyűrűi megfelelnek a csonka Witt-sémáknak és az univerzális Witt -sémáknak nevezett gyűrűsémáknak .

Ezen túlmenően egy R kommutatív gyűrűből egy affin tér és egy gyűrűstruktúra által képviselt halmazba gyűrűsséma alakul át . A csonka Witt-vektorok szerkezetéből következik, hogy a hozzájuk tartozó gyűrűséma egy egyedi gyűrűszerkezetű séma , így a Witt-polinomok által adott morfizmus sémamorfizmus. $R^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ $R^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ ${\underline {\mathcal {O}}}^{n}$ $\mathbb {W} _{n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n))$ $\mathbb {W} _{n}\rightarrow {\underline {\mathcal {O}}}^{n}$

Kommutatív unipotens algebrai csoportok

Egy algebrailag zárt , 0 karakterisztikájú mező felett bármely unipotens Abel - hez kapcsolódó algebrai csoport izomorf egy additív csoport másolatainak szorzatával . $G_a$

A p karakterisztikus mezők analógiája helytelen – a csonkolt Witt-sémák ellenpélda (a szorzási struktúra eltávolításával és csak az összeadási struktúra felhasználásával algebrai csoporttá fordítjuk őket.)

Lásd még

Formális csoport (matematika)
Kiállító Artin - Hasse

Linkek

Hazewinkel, Michiel (2009), Witt vektorok. I., Az algebra kézikönyve. Vol. 6 , Amszterdam: Elsevier/North-Holland, p. 319-472, ISBN 978-0-444-53257-2
Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface , vol. 59, Annals of Mathematics Studies, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , vol. 67, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , II.6.
Serre, Jean-Pierre (1988), Algebrai csoportok és osztályterek , vol. 117, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9
Witt, Ernst (1937), Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p n , Journal für Reine und Angewandte Mathematik T. 176: 126–140 , < http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/5 Archved07 ?ID2 2015. március 26-án kelt példány a Wayback Machine -nél
Greenberg, MJ (1969), Lectures on Forms in Many Variables, New York és Amszterdam, Benjamin, MR 241358, ASIN: B0006BX17M
Leng S., Algebra, ford. angolból, M., 1968;
Mumford, D., Lectures on Curves on an Algebraic Surface , ford. angolból, M., 1968;
Serre J.P., Algebrai csoportok és osztálymezők, ford. franciából, Moszkva, 1968;
Demazure M., Gabriel P., Groupes algebriques, t. 1. P.-Amst., 1970;
Dieudonne, J. Math. Ann., 1957, Bd 134, S. 114-33.