Pompeius tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Pompei tétele a planimetria egy tétele, amelyet Dimitrie Pompei román matematikus fedezett fel, és ő publikált 1936 -ban [1] . A tétel két megfogalmazásban ismert: különös és általánosabb.

Formulációk

Privát megfogalmazás

Legyen adott egy körbe írt egyenlő oldalú háromszög . Ekkor ennek a körnek bármely pontjában a távolság a háromszög egyik csúcsától egyenlő a másik két csúcs távolságának összegével. Különösen az ábra esetében. a jobb oldalon van: . Szimmetrikus formában ez a megfogalmazás így írható fel: vagy . $AM+CM=BM$ $MA+MB+MC=2\max(MA,MB,MC)$ $x+y+z = 2\max(x,y,z)$

Példák hasonló arányokra

Hasonló összefüggések találhatók a következő szakaszokban:

Általános megfogalmazás

Legyen adott egy körbe írt egyenlő oldalú háromszög . Ekkor a következő egyenlőtlenségek bármelyik pontra érvényesek: $ABC$ $M$

MA\leqslant MB+MC,

MB\leqslant MA+MC,

MC\leqslant MA+MB.

Ráadásul ezek az egyenlőtlenségek akkor és csak akkor válnak egyenlővé, ha a pont az íveken , illetve a körülírt körön fekszik. $M$ $időszámításunk előtt$ $AC$ $AB$

Vagyis a , szakaszokból készíthetünk háromszöget , de ha a pont a körülírt körön van, akkor degenerált lesz. $MA$ $MB$ $MC$ $M$

Bizonyíték

Fontolja meg a forgatást egy pont körül . Ezzel az elforgatással a pont a , és a - pontra kerül . $A$ $60^{\circ }$ $B$ $C$ $M$ $M'$

Figyeljük meg, hogy a háromszög egyenlő oldalú, tehát . Mivel a forgatás izometria , akkor . $AMM'$ $AM=MM'$ $MB=M'C$

Így a , szakaszok hossza megegyezik a , , pontok közötti páronkénti távolsággal , azaz mindhárom egyenlőtlenség következik az általánosított háromszögegyenlőtlenségből . Az egyik egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a , és pontok ugyanazon az egyenesen fekszenek. $MA$ $MB$ $MC$ $M$ $M'$ $C$ $M$ $M'$ $C$

Vegye figyelembe, hogy a forgás tulajdonságai miatt . Márpedig abban az esetben, ha és között fekszik , van és , azaz az íven fekszik . Hasonlóképpen a másik két esetben az egyik jelzett szög , a másik pedig , és további két ívet kapunk. $\angle AM'C=\angle AMB$ $C$ $M$ $M'$ $\angle AM'C=\angle AMB=60^{\circ }$ $\angle AMC=60^{\circ }$ $M$ $időszámításunk előtt$ $60^{\circ }$ $120^{\circ }$

Egyéb bizonyítékok

Továbbá Pompeius tétele közvetlenül következik Ptolemaiosz egyenlőtlenségéből , amelyet a , , és -re alkalmaznak , vagyis egy körbe írt négyszögre . $A$ $B$ $C$ $M$ $ABCM$
A tétel inverzióval [2] [3] vagy komplex számokkal [2] [4] igazolható – Pompeius saját bizonyítása is használt komplex számokat [1] .

Változatok és általánosítások

Pompeius háromszögének területe

Ahogy a tétel mondja, a , szakaszok bármelyik pontjára létrehozhatunk háromszöget ( a pontnak megfelelő Pompeius-háromszög ). Ha egy területű háromszögön belül van , és a háromszögek területei egyenlőek , , , akkor Pompeius háromszögének területe [2] . $M$ $MA$ $MB$ $MC$ $M$ $M$ $ABC$ $S_{0}$ $AMB$ $BMC$ $AMC$ $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ ${\frac {S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1}}{S_{0}}}$

Általánosított Pompeius-tétel

Érintse meg a kör egy egyenlő oldalú háromszög körülírt körét egy tetszőleges pontban . A háromszög csúcsaiból e körhöz , , érintőket húzzunk . Akkor . $ABC$ $M$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ $AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}$

A bizonyítás a Pompeius-tétel, valamint az érintő és szekant tétel alkalmazásán alapul . Nyilvánvaló, hogy ha a kör sugarát nullára tesszük, akkor a klasszikus Pompeius-tételt kapjuk. Pompeius tételének ez az általánosítása Casey tételének ( általánosított Ptolemaiosz-tétel ) egyszerű következménye , amikor egy beírt négyszög négy érintőköréből három sugara pontokká degenerálódik, és a negyedik kör megjelenik a Pompeius-tétel ezen általánosításában . Ebben az esetben a beírt négyszög egyenlő oldalú háromszöggé degenerálódik, amelynek egy plusz csúcsa van. A beírt négyszögnek egy másik esete is felvehető, amikor két oldala és egy átlója egyenlő, és egy egyenlő oldalú ABC háromszöget alkot és annak három csúcsa, a negyedik M csúcs a körön fekszik (lásd az utolsó ábrát).

Jegyzetek

↑ 1 2 D. Pompeiu. Une identité entre nombres complexes et un théorème de géométrie élémentaire (francia) // Bull. matematika. fiz. Ecole politechnikum. :magazin. - Bukarest, 1936. - 1. évf. 6 . - 6-7 . o .
↑ 1 2 3 A. Benyi, I. Casu, Pompeiu tétele újranézve Archiválva : 2011. március 31. a Wayback Machine -nél
↑ Ptolemaiosz tételének bizonyítása inverzióval Archiválva : 2009. május 26. a Wayback Machine -nél . Távoli konzultációs pont a matematika MCNMO számára .
↑ Ponarin, 2004.

Források

V. Yu. Protasov. Maxima és minimum a geometriában . — M. : MTsNMO , 2005.
Ja. P. Ponarin. Komplex számok algebra geometriai feladatokban . — M. : MTsNMO , 2004.