Hilbert nulltétele

Hilbert nulltétele ( Hilbert gyöktétele , sok nyelven, néha oroszul is, gyakran az eredeti német Nullstellensatz nevet használja , ami "nullatételnek" fordítja) egy olyan tétel , amely alapvető kapcsolatot hoz létre a geometria és az algebra között . Ennek az összefüggésnek a használata az algebrai geometria alapja .

Ez a tétel összekapcsolja az algebrai halmaz fogalmát egy algebrailag zárt mező feletti polinomgyűrűben lévő ideál fogalmával . Először David Hilbert bizonyította ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373), és róla nevezték el.

Megfogalmazás

Legyen tetszőleges mező (például a racionális számok mezője ), legyen ennek a mezőnek algebrailag zárt kiterjesztése (például a komplex számok mezője ). Tekintsünk egy polinomiális gyűrűt változókban együtthatókkal a mezőben , legyen ideál ebben a gyűrűben. Az ideál által meghatározott algebrai halmaz minden olyan pontból áll , hogy bármely . Hilbert nulla tétele kimondja, hogy ha néhány polinom eltűnik a halmazból , azaz ha mindenre , akkor létezik olyan természetes szám , hogy . $k$ $K$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $n$ $K$ $én$ ${\hbox{V}}(I)$ $x=(x_{1},\pontok,x_{n})\in K^{n}$ $f(x)=0$ $f\in I$ $p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=0$ $x\in V(I)$ $r$ $p^{r}\in I$

Azonnali következmény a Hilbert-féle nullatétel következő „gyenge alakja”: ha van egy megfelelő ideál a gyűrűben , akkor az nem lehet üres halmaz , azaz az adott ideál összes polinomjára van közös nulla (sőt, egyébként a polinomnak mindenütt gyökei vannak a -n , tehát foka a -hoz tartozik . Ez a körülmény adta a tétel nevét. Az általános eset a "gyenge formából" az úgynevezett Rabinowitz-trükk segítségével következtethető . Lényeges az a feltételezés, hogy a mező algebrailag zárt: a megfelelő ideál elemeinek nincs közös nullája. $én$ $K[x_{1},\pontok,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=1$ ${\hbox{V}}(I)$ $én$ $K$ $(x^{2}+1)$ ${\mathbb R}[x]$

A kommutatív algebra standard terminológiáját használva a Hilbert-féle nullatétel a következőképpen fogalmazható meg: minden ideálra a képlet $J$

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

ahol az ideál gyökje , és az az ideál, amely a halmaz összes nullával egyenlő polinomjából áll . ${\sqrt {J}}$ $J$ ${\hbox{I}}(U)$ $U$

Ebből az következik, hogy a műveletek és definiálnak egy bijektív sorrend-megfordító megfelelést az in algebrai halmazok és a -beli radikális ideálok között . ${\hbox{I}}$ ${\hbox{V}}$ $K^n$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

A Nullstellensatz projektív változata

A polinomgyűrűben lévő homogén ideálok és a projektív tér algebrai halmazai között is van egyezés , amelyet projektív Nullstellensatz -nak neveznek . Legyen a homogén fokszámú polinomok halmaza . Akkor $R=K[x_{1},\pontok,x_{n}]$ $R_{d}$ $d$

R_{+}=\bigoplus _{{d\geq 1}}R_{d}

maximális homogén ideálnak nevezzük . Az affin esethez hasonlóan bevezetjük a jelölést: egy részhalmazhoz és egy homogén ideálhoz legyen $S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$ $én$

{\begin{aligned}\operatorname {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\; \forall x\in S\},\\\operátornév {V}_{({\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^ {n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}

Emlékezzünk vissza, hogy nem függvény egy projektív téren, de ennek a polinomnak a homogenitásából az következik, hogy a homogén koordinátákkal rendelkező pontok halmaza , ahol , jól definiált. Nos, egy önkényes homogén ideálhoz, $f$ $x$ $f(x)=0$ $I\in R_{+}$

{\sqrt {I}}=\operátornév {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\operátornév {V}_{({\mathbb {P}}^{n}} }(ÉN)).

Irodalom

Atiyah M. , McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M: Mir, 1972
Van der Waerden B. L. Algebra. — M.: Nauka, 1976.
Prasolov VV polinomok. - M.: MTSNMO , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Hartshorne R. Algebrai geometria. — M.: Mir, 1970
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968

Lásd még

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"