Összehúzódott tér

A kontrakciós tér olyan topológiai tér , amely homotopikusan ekvivalens egy ponttal. Ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy az identitásleképezés homotopja a konstans térképnek. $x$

A lokálisan összehúzható tér egy topológiai tér, amelynek minden pontja rendelkezik egy összehúzható szomszédsággal .

Tulajdonságok

Egy tér akkor és csak akkor összehúzható, ha létezik olyan, amely a tér deformációs visszahúzódása . $x$ $x_{0}\X-ben$ $\{x_{0}\}$ $x$

Az összehúzható terek mindig egyszerűen össze vannak kötve ; a fordított állítás általános esetben nem állja meg a helyét, a kontraktibilitás erősebb korlát, mint az egyszerű kapcsolódás.

Minden összehúzható terek folytonos térképe homotópia ekvivalencia. Egy tetszőleges tér bármely két folytonos leképezése összehúzható térre homotop; sőt, ha bármely két folytonos térkép homotop, akkor összehúzható tér. $x$ $x$

Egy adott tér kúpja összehúzható tér, tehát bármely tér beágyazható egy összehúzható térbe, ami viszont azt jelzi, hogy egy összehúzható tér nem minden altere összehúzható. Ezenkívül akkor és csak akkor összehúzható, ha visszahúzás történik . $\mathrm{C}X$ $x$ $x$ $x$ ${\mathrm {C}}X\-X$

Példák és ellenpéldák

Összehúzható -dimenziós valós tér , az euklideszi tér bármely konvex részhalmaza , különösen - -dimenziós labda . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

A végtelen -dimenziós Hilbert-térben lévő gömb összehúzható, de a -dimenziós euklideszi gömbök nem összehúzhatók. Egy -dimenziós gömb összehúzható térbe történő bármilyen folyamatos leképezése folyamatosan kiterjeszthető -dimenziós golyóra . $n$ $n$ $n+1$

További figyelemre méltó összehúzható terek a Whitehead sokaság (háromdimenziós sokaság , nem homeomorf ), a Mazur sokaság ( egy sima négydimenziós sokaság határvonallal, nem különbözik a négygömbtől ), a Bing-ház és a bolond sapka . $\mathbb {R} ^{3}$

Minden elosztó és CW-komplex lokálisan összehúzható, de általában nem összehúzható.

Irodalom

E. Spanier. Algebrai topológia. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. — 680 s.