Szabadságfokok (fizika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Szabadságfokok - egy mechanikai rendszer mozgásának jellemzői . A szabadsági fokok száma határozza meg a független változók (általánosított koordináták) minimális számát, amelyek egy mechanikai rendszer állapotának teljes leírásához szükségesek. Szigorú elméleti és mechanikai definíció: egy mechanikai rendszer szabadságfokainak száma az állapotterének dimenziója , figyelembe véve a megszabott kényszereket.

Ezenkívül a szabadsági fokok száma megegyezik a független másodrendű egyenletek teljes számával (például a Lagrange-egyenletek ), vagy az elsőrendű egyenletek számának felével (például a kanonikus Hamilton-egyenletek ), amelyek teljes mértékben leírják [1] a rendszer dinamikája.

A fizikai rendszer állapota

A fizikai rendszerek túlnyomó többsége nem egy, hanem sokféle állapotban lehet, amelyeket folytonos (például testkoordináták ) és diszkrét (például egy atomban lévő elektron kvantumszáma ) változókkal is leírnak. A független „irányokat”, a rendszer állapotait jellemző változókat szabadsági fokoknak nevezzük .

A szabadsági fokok száma megegyezik az ilyen változók minimális számával, amely a rendszer állapotának teljes leírásához szükséges. Például egy matematikai inga helyzete jellemezhető mind a tengely körüli elforgatásának szögével, mind az anyagi pont tengelyhez viszonyított helyzetének két koordinátájával. Egy ilyen ingának azonban csak egy szabadságfoka van, és nem kettő (ahogyan a második esetben tűnhet), mivel a forgásszög önmagában is elegendő a rendszer helyzetének leírásához bármikor.

Példák

A legegyszerűbb mechanikai rendszer - egy anyagi pont a háromdimenziós térben - három szabadságfokkal rendelkezik, mivel állapotát teljesen három térbeli koordináta írja le.
Az abszolút merev testnek hat szabadsági foka van , mivel egy ilyen test helyzetének teljes leírásához elegendő a tömegközéppont három koordinátája és három szög beállítása, amelyek leírják a test orientációját (ezek a mennyiségek a mindennapokban ismertek az élet „döntés, emelés, fordulás”, a repülésben „ gurulás , dőlés , lehajlás ” néven szerepel. Euler -szögeknek is nevezik őket (precesszió, nutáció és megfelelő forgatás).
A valódi testeknek hatalmas számú szabadsági foka van (a testet alkotó részecskék számának sorrendjében). A legtöbb esetben azonban kiderül, hogy csak néhány "kollektív" szabadságfok a legfontosabb, amelyek a test tömegközéppontjának mozgását, a test forgását , deformációját , makroszkopikus oszcillációit jellemzik. A többi, mikroszkopikus szabadsági fok külön-külön észrevehetetlen, de egyszerre észlelhető, mint például a hőmérséklet és a nyomás .

Általános koordináták

A szabadságfok fogalma olyan fogalomhoz kapcsolódik, mint a dimenzió. A matematikában a dimenzió azoknak a független változóknak a száma, amelyekre szükség van egy objektum állapotának leírásához, vagy más szóval annak meghatározásához, hogy milyen pozícióban van egy absztrakt térben.

Egy fizikai rendszer állapotának matematikai leírásában N szabadsági fok felel meg N független változónak, amelyet általánosított koordinátának nevezünk .

Folytonos szabadsági fokok esetén a megfelelő általánosított koordináták folyamatos értéksort vesznek fel. Ugyanakkor a szabadság diszkrét fokozatai is szóba jöhetnek.

Példák

A kör síkon elfoglalt helyzetének leírásához három paraméter elegendő: a középpont és a sugár két koordinátája, vagyis a körök tere a síkon háromdimenziós. A kör a sík bármely pontjára mozgatható és a sugara változtatható, így három szabadságfoka van.
Egy objektum koordinátáinak földrajzi térképen történő meghatározásához meg kell adnia a szélességi és hosszúsági fokot . A megfelelő teret ezért kétdimenziósnak nevezzük. Egy objektum bárhol elhelyezkedhet, így a térképen minden objektumnak két szabadságfoka van.
A repülőgép helyzetének beállításához három koordinátát kell megadnia – a szélességi és hosszúsági fokon kívül tudnia kell a magasságot is, amelyen található. Ezért a tér, amelyben a repülőgép található, háromdimenziós. Ehhez a három koordinátához hozzáadható egy negyedik (idő), amely nemcsak a repülőgép aktuális helyzetét írja le, hanem az idő pillanatát is. Ha hozzáadja a repülőgép tájolását ( gurulás , dőlésszög , lehajlás ) a modellhez, akkor a rendszer további három koordinátát ad hozzá, és a modell megfelelő absztrakt tere hétdimenzióssá válik.

Szabadságfokok a statisztikus fizikában és termodinamikában

A statisztikus fizikában és termodinamikában , amikor szabadsági fokokról beszélünk, néha olyan fogalmat jelentenek, amely szorosan kapcsolódik a fent leírtakhoz, de némileg módosított.

A lényeg az, hogy ebben az esetben mindenekelőtt a szabadsági fokonkénti összenergia az érdekes. És minden rezgési szabadságfok kinetikus és potenciális energiával is rendelkezik.

Az energia szabadsági fokok szerinti eloszlásáról szóló klasszikus tétel [2] azt mondja: termodinamikai egyensúly esetén a mozgási energia átlagosan egyenletesen oszlik el az összes szabadsági fokon, minden szabadsági fokon kT /2. Ebben az esetben minden szabadságfoknál, amelyeknek van egy potenciális energiája is (adott koordinátától függően), a rendszer teljes energiájához hozzáadódik a potenciális energia is, a rezgési szabadságfokoknál pedig az átlagos kinetikai és átlag a potenciális energiák egyenlőek (ez az állítás a harmonikus oszcillátorokra pontos, de jó közelítés és némi anharmonikussággal).

Így kiderül, hogy a rendszer belső energiájának kiszámításakor minden egyes rezgési szabadságfok kétszer kerül figyelembevételre. Ezért néha a számítás megkönnyítése érdekében a képletet használják

kTN_{f}/2,

ahol a szabadsági fokok számát nem a szokásos értelemben, hanem a teljes energia eloszlásának értelmében értjük, azaz minden rezgési szabadságfokot kétszer veszünk figyelembe (mint "rezgéskinetikai" plusz mint " vibrációs potenciál"), vagyis ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy minden egyes rezgési szabadságfok termodinamikai értelemben két szabadsági foknak felel meg. A fennmaradó szabadsági fokokat (transzlációs és forgási) egyszerűen, megkettőzés nélkül vesszük figyelembe (mivel ezek a mozgástípusok nulla - pontosabban elhanyagolható - potenciális energiának felelnek meg). $N_{f}$

Így a statisztikus fizikában a szabadsági fokok alatt gyakran nem a konfigurációs térben , hanem a fázistérben lévő koordinátákat értjük , pl. tekintsük az általánosított koordinátákat és az általánosított momentumokat különböző szabadsági fokoknak. Ebben az esetben a klasszikus közelítésben (azaz bizonyos fenntartásokkal - csak kellően magas hőmérsékleten) a teljes energiához - mindegyikhez - csak azok járulnak hozzá, amelyek az energia kifejezésébe kvadratikusan lépnek be. $kT/2$

Fagyasztó szabadsági fokok

A kvantummechanikai megfontolás azt mutatja, hogy a különböző szabadsági fokok lehetnek aktívak vagy inaktívak a következő értelemben: ha valamilyen mozgásnak diszkrét spektruma van (és a diszkrét spektrum bármely kötött állapotnak felel meg), akkor gerjeszthető (a rendszer magasabbra megy). energiaszint) csak akkor, ha az elnyelt energia nagyobb, mint az első gerjesztett állapot és az alapállapot közötti energiakülönbség (gerjesztési energia). Ezért, ha a rendszer (molekula, atom) kezdetben alapállapotban van, és olyan részecskével kölcsönhatás lép fel, amely csak a gerjesztési energiánál kisebb energiát képes leadni (például egy kisebb energiájú fotonnal vagy olyan molekulával, amelynek a mozgási energia kisebb, mint ez a küszöb), ez a szabadságfok semmilyen módon nem nyilvánul meg (a hozzá kapcsolódó mozgás nem keletkezhet, pontosabban nem változhat, ez a szabadságfok az alapállapotban marad). Ezt szabadságfok- fagyasztásnak nevezik (természetesen még ugyanabban a rendszerben is a különböző szabadsági fokoknak lehet azonos vagy eltérő gerjesztési energiája, ezért ki kell fagyni, vagy nem lehet kifagyni, hogy kölcsönhatásba léphessenek a különböző energiájú részecskékkel).

Ez teljes mértékben vonatkozik a különböző szabadsági fokok különböző hőmérsékleteken való megnyilvánulására.

Valójában egy bizonyos hőmérsékleten a részecskék mozgási energiája átlagosan k T nagyságrendű , ezért minden szabadsági fok, amelynek a gerjesztési energiája sokkal nagyobb, kimerevül (a statisztikákban figyelmen kívül hagyhatók ). Ebben a tekintetben az egyes rendszerek (atom, molekula, kristály stb.) minden egyes szabadságfokára bevezetik a fagyási hőmérséklet fogalmát (amely megegyezik a gerjesztési energiával osztva a Boltzmann-állandóval ) . A fagypontnál jóval alacsonyabb hőmérsékleten a szabadságfok nem nyilvánul meg (alapállapotban van, és általában egyszerűen figyelmen kívül hagyható bármilyen módon), ennél jóval magasabb hőmérsékleten a szabadságfok teljesen „bekapcsolt” és Klasszikusnak tekinthető a mentén történő mozgás, a fagypont nagyságrendű hőmérsékleten, a hőmérséklet emelkedésekor a szabadsági fok fokozatos [3] beillesztése, vagy a hőmérséklet csökkenésekor fokozatos kikapcsolása.

A leírtak magyarázatot adnak a különböző anyagok hőkapacitásának változására a hőmérséklet függvényében. A klasszikus statisztikai fizika az energia szabadsági fokok közötti egyenletes eloszlásáról beszél (itt a szabadsági fok kifejezést termodinamikai értelemben értjük, lásd fent ). Nyilvánvaló azonban, hogy valójában (figyelembe véve a kvantummechanikai korrekciót) ezt az állítást csak a „bekapcsolt” szabadsági fokokra szabad alkalmazni, vagyis a fagyasztottakat kizárva. Ezért a moláris hőkapacitás az lesz

c={\frac {1}{2}}kN_{f},

ahol k a Boltzmann-állandó, N f egy adott típusú szabadságfok száma a vizsgált rendszerben (különösen, ha molekulák halmazáról beszélünk, ahol N a molekulák száma, i a egy molekula szabadságfokainak száma). $N_{f}=Ni,$

Egy molekula szabadsági fokai

Az ideális gáz belső energiájának képlete [4] :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

és az ideális gázmolekula átlagos energiájának közvetlenül kapcsolódó képlete

U_{1}={\frac {i}{2}}kT

ahol

én

a gázmolekula szabadsági fokainak száma ,

\nu ={\frac {m}{\mu ))

- gáz mennyisége ( - tömeg , - gáz moláris tömege ),

m

\mu

R

az univerzális gázállandó ,

k

a Boltzmann állandó ,

T

a gáz abszolút hőmérséklete .

A molekula szabadsági fokai a fenti bekezdésben leírtak szerint ki vannak fagyasztva, ami azt jelenti, hogy a képletben szereplő effektív i a hőmérséklettől függ, és általában véve nem számítható egyszerűen klasszikus mechanikai módon.

Monatomikus molekulák esetén minden forgási szabadságfok , lineáris (valódi geometriai értelemben vett) molekulák esetében pedig a hossztengely körüli forgásnak megfelelő forgási szabadságfok ki van fagyasztva (azaz ezeket nem kell figyelembe venni az i -ben ) mindig, mivel fagyásuk hőmérséklete olyan magas, hogy a molekulák disszociációja sokkal korábban megy végbe, mint ahogy ezt a hőmérsékletet elérjük.

Lásd még

Jegyzetek

↑ A klasszikus dinamikára utalva itt a mozgásegyenleteket értjük . A kvantumleíráshoz azonban legalább elvileg olyan operátoregyenletek használhatók, amelyek gyakorlatilag egybeesnek alakjukban.
↑ Tiszta formájában csak a klasszikus (azaz nem kvantum) közelítésben igaz, és ha egészen következetesen próbáljuk alkalmazni, akkor a tapasztalatokkal való összeegyeztethetetlenséghez, sőt paradoxonokhoz vezet, mint például az ultraibolya katasztrófa ; azonban a kvantumeset szempontjából is fontos marad, bár akkor a megfogalmazásán erősen változtatni kellene. Lásd még ebben a cikkben (amiből az következik, hogy a kvantumkorrekciók megfelelő megengedésével még egy tisztán klasszikus tétel is használható.
↑ Fokozatosan a hőeloszlás egyenletessége miatt.
↑ Nikerov. V. A. Fizika: tankönyv és műhely akadémiai alapszakos hallgatók számára. - Yurayt, 2015. - S. 127-129. - 415 p. - ISBN 978-5-9916-4820-2 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007545601105171 LCCN : sh85036480