Adjunkt operátor

Az adjungált operátor a végtelen dimenziós terekre vonatkozó hermiti konjugált mátrix fogalmának általánosítása .

Lineáris algebra

A transzformációt lineáris transzformációval konjugáltnak nevezzük , ha bármely vektorra és az egyenlőség teljesül . Minden transzformációnak egyetlen konjugált transzformációja van. A bázis mátrixát a transzformációs mátrixból a képlet határozza meg, ha a tér euklideszi , és a képlet az unitárius térben . itt a választott bázis Gram-mátrixát jelöli. Ha ortonormális , akkor ezek a képletek a és alakot veszik fel . $\varphi ^{*}$ $\varphi$ $x$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gamma$ $A^{*}=A^{T}$ $A^{*}={\sáv {A}}^{T}$

Általános lineáris tér

Legyenek lineáris terek és konjugált lineáris terek ( on definiált lineáris funkcionálisok terei ). Ekkor bármely lineáris operátorhoz és bármely lineáris funkcionálhoz egy lineáris függvényt definiálunk - és szuperpozíciója : . A leképezést adjungált lineáris operátornak nevezzük , és jelöli . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\E^{*}$

Röviden, hol van a függvény hatása a vektoron . $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$ $(B,x)$ $B$ $x$

Topológiai lineáris tér

Legyenek topológiai lineáris terek , és konjugált topológiai lineáris terek (a -n definiált folytonos lineáris funkcionálisok terei ). Bármely folytonos lineáris operátorhoz és bármely folytonos lineáris függvényhez egy folytonos lineáris függvény van meghatározva - a szuperpozíció és a : . Könnyen ellenőrizhető, hogy a leképezés lineáris és folytonos-e. Adjoint operátornak hívják, és jelölése is van . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\E^{*}$

Banach space

Legyen egy folytonos lineáris operátor , amely egy Banach-térből egy Banach-térbe lép [1] , és legyenek a duális terek . Jelöljük . Ha fix, akkor lineáris folytonos függvény -ben . Így egy lineáris folytonos függvény van definiálva -hoz, ezért egy operátort úgy definiálunk , hogy . $A\colon X\to Y$ $x$ $Y$ $X^{*},Y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $f$ $[Ax,f]$ $X,[Ax,f]\in X^{*}$ $\forall f\in Y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\colon Y^{*}\X^{*}$ $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$

$A^{*}$ adjungált operátornak nevezzük . Hasonlóképpen definiálhatunk egy adjungált operátort egy korlátlan lineáris operátorhoz, de ez nem lesz definiálva a teljes téren.

A következő tulajdonságokra igazak: $A^{*}$

Az operátor lineáris. $A^{*}$
Ha lineáris folytonos operátor , akkor lineáris folytonos operátor is. $A$ $A^{*}$
Legyen a nulla operátor és az egység operátor . Akkor . $O$ $E$ $O^{*}=O,E^{*}=E$
$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ .
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Hilbert space

Egy Hilbert-térben a Riesz-tétel a teret adjunktjával azonosítja, ezért operátor esetén az egyenlőség határozza meg az adjungált operátort . Itt van a skaláris szorzat az űrben . $H$ $A\kettőspont H\H-ig$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ $A^{*}\colon H\to H$ $(x,y)$ $H$

Lásd még

Hermitikus operátor

Jegyzetek

↑ Feltételezzük, hogy a terek összetettek $X,Y$

Irodalom

Shefer H. Topológiai vektorterek. - M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funkcionális elemzés és alkalmazásai a kontinuummechanikában. - M . : Vuzovskaya könyv, 2000 . — 320 s.
Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Funkcionális elemzés / szerkesztő S. G. Kerin . — 2., átdolgozva és kiegészítve. - M .: Nauka , 1972 . — 544 p. — (Referencia matematikai könyvtár).
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek = Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Shilov G.E. Matematikai elemzés (egy változó függvényei), 3. rész. - M .: Nauka , 1970 . — 352 p.
Weinberg M. M. Funkcionális elemzés. - M .: Nevelés, 1979. - 128 p.