Egy kötegnél, amelynek rostjai sima változatok (vagy sima algebrai változatok ), egy köteg egy lapos kapcsolathoz társítható , amelyet Gauss-Manin kapcsolatnak neveznek .
Legyen egy köteg, amelynek szálai sima osztók. Tekintsünk egy vektorköteget szálakkal . Más szóval, minden egyes levél helyett felakasztjuk annak -edik de Rham-kohomológiáját . Ehresmann tétele szerint, a sima kötegek lokálisan triviálisak, így egy kellően kis alapszomszédságban azonosítani lehet a szálakat egymással, és sima szakaszoknak nyilváníthatjuk azokat a szakaszokat, amelyek megfelelnek a trivializálás alatt álló kohomológiai osztály sima variációinak. Szigorúan véve nem definiáltunk egy köteget, hanem csak egy köteget, de ez valóban a köteg szakaszainak kötege lesz .
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel egy pillanatra, hogy a rétegek tömörek. Egy kompakt sokaság de Rham-kohomológiája izomorf a szinguláris kohomológiával , így minden rétegnek van egy egész számú kohemológiai rácsa, amely simán függ a ponttól . A Gauss-Manin kapcsolat az a kapcsolat, amelyhez képest a helyi szakaszok, amelyek minden ponton értéket vesznek fel ebben az egész rácsban, laposak.
A Gauss-Manin kapcsolat síkmetszetek szerinti leírása kényelmes módot ad a vizualizálásra, azonban létezéséhez egyáltalán nem szükséges egy egész struktúra jelenléte a kohomológián. Megengedi a következő leírást. A kötegben az Ehresmann csatlakozást választjuk . Ha - valamilyen szakasz, akkor zárt formák halmazával valósítható meg . A választott Ehresmann kapcsolat lehetővé teszi, hogy egyetlen formára kiterjesszük, a rétegekre keresztirányban újradefiniálva egy mindenkire vonatkozó feltétellel . Vegye figyelembe, hogy ezt az űrlapot nem kell bezárni. A Gauss-Manin kapcsolatot a következőképpen definiáljuk: . Itt van egy tetszőleges vektormező az alapon, és ennek emelése az Ehresmann-kapcsolat segítségével, vagyis az a szakasz , amely az alapra vetítve - lesz . Nem nehéz ellenőrizni, hogy ez egy jól definiált kapcsolat (vagyis, hogy egy ilyen Lie derivált zárva lesz-e a rétegkorlátozásban, és ez a művelet kielégíti-e a Leibniz-azonosságot); kicsit nehezebb kimutatni, hogy ez nem az Ehresmann-csatlakozás megválasztásától függ.
A Gauss-Manin kapcsolatnak ez a definíciója elegánsan van megfogalmazva differenciáltan osztályozott algebrákban. Ez lehetővé teszi, hogy a Gauss-Manin kapcsolat definícióját átvigyük a nem kommutatív geometriára : Getzler[1] , Kaledin [2] pedig periodikus ciklikus homológián építette meg a Gauss-Manin kapcsolatot.
A Gauss–Manin kapcsolat egy olyan elliptikus görbék családjának első kohomológiájában, amelyek egyenleteket tartalmaznak egy lyukasztott Riemann-gömb felett, és egy komplex paraméterrel paraméterezzük a Picard–Fuchs egyenletként ismert differenciálegyenletet.. Gauss hasonló egyenletet vett egy görbecsaládra ; Az ilyen egyenletek általános leírását abban az esetben, ha az alap egy algebrai görbe , Manin [3] , általános esetben Grothendieck [4] adta meg . Övé a „Gauss-Manin kapcsolat” név, valamint ennek a kapcsolatnak a Leray spektrális sorozatának egyik nyilaként egy absztrakt algebrai-geometriai leírása.megfelelő gerendához.
A Gauss-Manin kapcsolatot a szimplektikus geometriában is használják . Nevezetesen, legyen egy köteg, amelynek rostjai Lagrange - tori. Az ilyen köteg alapjának érintőtere azonosítható néhány altérrel a normál köteg szakaszainak terében az e felett függő szálhoz. De egy Lagrange-féle részsokaság esetében a normál köteg izomorf a kotangens köteggel, így ezek a szakaszok differenciális 1-formákat határoznak meg a szálon. Kiderült, hogy ezek a formák zártak, és kohomológiai osztályaik a rost lehetséges első kohomológiai osztályai. Így a Lagrange-köteg alapjához tartozó érintőköteg izomorf az első kohomológiai rostok kötegével, és ezért van egy kanonikus lapos kapcsolata, a Gauss-Manin kapcsolat. A mechanikában ennek az állításnak a Liouville-Arnold-tételként ismert következménye van : egy Hamilton-rendszerben, amelynek involúciójában annyi független integrál van, mint szabadságfok, a mozgásegyenletek négyzetekben is megoldhatók. A Liouville–Arnold tétel holomorf változata egy lapos monodrómia kapcsolatot határoz meg valamilyen osztón kívül a -n , egy holomorf Lagrange-köteg alapján egy hiperkähler -sokaton. . A legszemléletesebb esetet, amikor a teljes tér egy K3-as felület , a rétegek elliptikus görbék, az alap pedig egy Riemann-gömb 24 átszúrással, Kontsevich és Soibelman tanulmányozta.[5] .