A Gauss-Manin kapcsolat

Egy kötegnél, amelynek rostjai sima változatok (vagy sima algebrai változatok ), egy köteg egy lapos kapcsolathoz társítható , amelyet Gauss-Manin kapcsolatnak neveznek .

Definíció

Legyen egy köteg, amelynek szálai sima osztók. Tekintsünk egy vektorköteget szálakkal . Más szóval, minden egyes levél helyett felakasztjuk annak -edik de Rham-kohomológiáját . Ehresmann tétele szerint $Y\-X$ ${\displaystyle Y_{x))$ $E\to X$ $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $k$ , a sima kötegek lokálisan triviálisak, így egy kellően kis alapszomszédságban azonosítani lehet a szálakat egymással, és sima szakaszoknak nyilváníthatjuk azokat a szakaszokat, amelyek megfelelnek a trivializálás alatt álló kohomológiai osztály sima variációinak. Szigorúan véve nem definiáltunk egy köteget, hanem csak egy köteget, de ez valóban a köteg szakaszainak kötege lesz . $E$

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel egy pillanatra, hogy a rétegek tömörek. Egy kompakt sokaság de Rham-kohomológiája izomorf a szinguláris kohomológiával , így minden rétegnek van egy egész számú kohemológiai rácsa, amely simán függ a ponttól . A Gauss-Manin kapcsolat az a kapcsolat, amelyhez képest a helyi szakaszok, amelyek minden ponton értéket vesznek fel ebben az egész rácsban, laposak. $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$ ${\displaystyle E_{x))$ $x$

A Gauss-Manin kapcsolat síkmetszetek szerinti leírása kényelmes módot ad a vizualizálásra, azonban létezéséhez egyáltalán nem szükséges egy egész struktúra jelenléte a kohomológián. Megengedi a következő leírást. A kötegben az Ehresmann csatlakozást választjuk $Y\-X$ $H\subset TY$ . Ha - valamilyen szakasz, akkor zárt formák halmazával valósítható meg . A választott Ehresmann kapcsolat lehetővé teszi, hogy egyetlen formára kiterjesszük, a rétegekre keresztirányban újradefiniálva egy mindenkire vonatkozó feltétellel . Vegye figyelembe, hogy ezt az űrlapot nem kell bezárni. A Gauss-Manin kapcsolatot a következőképpen definiáljuk: . Itt van egy tetszőleges vektormező az alapon, és ennek emelése az Ehresmann-kapcsolat segítségével, vagyis az a szakasz , amely az alapra vetítve - lesz . Nem nehéz ellenőrizni, hogy ez egy jól definiált kapcsolat (vagyis, hogy egy ilyen Lie derivált zárva lesz-e a rétegkorlátozásban, és ez a művelet kielégíti-e a Leibniz-azonosságot); kicsit nehezebb kimutatni, hogy ez nem az Ehresmann-csatlakozás megválasztásától függ. $s\in \Gamma (E)$ $\sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})$ $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$ $\iota _{h}\sigma =0$ $h\in H$ $\nabla$ $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\ jobbra]\in H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $v$ ${\widetilde {v))$ $H$ $v$

A Gauss-Manin kapcsolatnak ez a definíciója elegánsan van megfogalmazva differenciáltan osztályozott algebrákban. Ez lehetővé teszi, hogy a Gauss-Manin kapcsolat definícióját átvigyük a nem kommutatív geometriára : Getzler[1] , Kaledin [2] pedig periodikus ciklikus homológián építette meg a Gauss-Manin kapcsolatot.

Alkalmazás

A Gauss–Manin kapcsolat egy olyan elliptikus görbék családjának első kohomológiájában, amelyek egyenleteket tartalmaznak egy lyukasztott Riemann-gömb felett, és egy komplex paraméterrel paraméterezzük a Picard–Fuchs egyenletként ismert differenciálegyenletet. $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ $\lambda$ . Gauss hasonló egyenletet vett egy görbecsaládra ; Az ilyen egyenletek általános leírását abban az esetben, ha az alap egy algebrai görbe , Manin [3] , általános esetben Grothendieck [4] adta meg . Övé a „Gauss-Manin kapcsolat” név, valamint ennek a kapcsolatnak a Leray spektrális sorozatának egyik nyilaként egy absztrakt algebrai-geometriai leírása. $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ megfelelő gerendához.

A Gauss-Manin kapcsolatot a szimplektikus geometriában is használják . Nevezetesen, legyen egy köteg, amelynek rostjai Lagrange - tori. Az ilyen köteg alapjának érintőtere azonosítható néhány altérrel a normál köteg szakaszainak terében az e felett függő szálhoz. De egy Lagrange-féle részsokaság esetében a normál köteg izomorf a kotangens köteggel, így ezek a szakaszok differenciális 1-formákat határoznak meg a szálon. Kiderült, hogy ezek a formák zártak, és kohomológiai osztályaik a rost lehetséges első kohomológiai osztályai. Így a Lagrange-köteg alapjához tartozó érintőköteg izomorf az első kohomológiai rostok kötegével, és ezért van egy kanonikus lapos kapcsolata, a Gauss-Manin kapcsolat. A mechanikában ennek az állításnak a Liouville-Arnold-tételként ismert következménye van : egy Hamilton-rendszerben, amelynek involúciójában annyi független integrál van, mint szabadságfok, a mozgásegyenletek négyzetekben is megoldhatók. A Liouville–Arnold tétel holomorf változata egy lapos monodrómia kapcsolatot határoz meg valamilyen osztón kívül a -n , egy holomorf Lagrange-köteg alapján egy hiperkähler -sokaton. $Y\-X$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ . A legszemléletesebb esetet, amikor a teljes tér egy K3-as felület , a rétegek elliptikus görbék, az alap pedig egy Riemann-gömb 24 átszúrással, Kontsevich és Soibelman tanulmányozta.[5] .

Jegyzetek

↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2018. október 20. Az eredetiből archiválva : 2015. március 26.. (határozatlan)
↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Archiválva : 2018. október 21. a Wayback Machine -nél [math/0702068v2] Ciklikus homológia együtthatókkal
↑ Algebrai görbék differenciált mezők felett
↑ Az algebrai változatok de Rham-kohomológiájáról . Letöltve: 2018. október 20. Az eredetiből archiválva : 2018. december 16.. (határozatlan)
↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Archiválva : 2020. május 28. a Wayback Machine -nél [math/0406564] Affin struktúrák és nem archimédész szóközök]