Ingyenes Abel csoport

A matematikában a szabad Abeli-csoport ( a szabad Z-modul ) egy olyan Abeli-csoport , amelynek van alapja , vagyis a csoport elemeinek olyan részhalmaza, amely bármely elemére egyedi reprezentáció létezik egy alapelemek lineáris kombinációja egész együtthatókkal, amelyek közül csak egy véges szám nem nulla. A szabad Abel-csoport B bázisú elemeit B feletti formális összegeknek is nevezzük . A szabad Abel-csoportokat és a formális összegeket az algebrai topológiában a lánccsoportok meghatározásában , az algebrai geometriában pedig az osztók meghatározásában használjuk .

A vektorterekhez hasonlóan a szabad Abel-csoportokat is a bázis számossága szerint osztályozzuk ; ez a kardinalitás független a bázis megválasztásától, és a csoport rangjának nevezzük . [1] [2]

Példa és ellenpélda

A csoport , egy végtelen ciklikus csoport két másolatának közvetlen összege , egy szabad 2. rangú Abel-csoport, mivel van alapja , ahol és . Egy csoport tetszőleges elemét ezek lineáris kombinációjaként egyedileg ábrázoljuk: . Általánosabban, a szabad Abel-csoport bármely rács a [3] -ban. ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2))$ $\mathbb {Z}$ $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$ $e_{1}=(1,0)$ $e_{2}=(0,1)$ ${\megjelenítési stílus (n,m)}$ $G$ $(n,m)=ne_{1}+me_{2}$ ${\mathbb R}^{n}.$
A triviálison kívül egyetlen véges Abel-csoport sem szabad (mivel a szabad Abeli-csoportnak nincs torziója ).

Formális összegek

Bármely halmazhoz definiálhat egy csoportot, amelynek elemei a tól az egész számok halmazáig terjedő függvények , és a zárójelek azt jelzik, hogy minden függvény legfeljebb egy véges halmazon vesz fel nullától eltérő értéket. A függvények összeadása pontszerűen van definiálva: erre az összeadásra nézve egy szabad Abel -csoportot alkot , melynek alapja egy az egyhez megfeleltetés halmazzal.a $B$ ${\mathbb Z}^{{(B))),$ $B$ ${\mathbb Z},$ ${\megjelenítési stílus (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $b.$ $x$ $B$ $e_{x},$ $e_{x}(x)=1,$ $e_{x}(y)=0$ $y$ $b,$ $y\neq x.$ $f$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$

f=\sum _{{\{x\mid f(x)\neq 0\))}f(x)e_{x}

Egy bázissal rendelkező csoport az izomorfizmusig egyedi; elemeit formális elemösszegeknek nevezzük ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $\{e_{x}\}_{x\in B}$ $b.$

Tulajdonságok

Általános tulajdonság

A szabad csoportok a következő univerzális tulajdonsággal jellemezhetők : egy függvény egy B halmazból egy F Abel-csoportba egy bázis beágyazódása ebbe a csoportba, ha B - ből egy tetszőleges Abeli-csoportba tartozó függvényre létezik olyan egyedi csoporthomomorfizmus , mint pl . hogy Mint minden univerzális tulajdonság, amely kielégíti ezt a tulajdonságot, az objektum automatikusan egyedi az izomorfizmusig, így ez az univerzális tulajdonság felhasználható annak bizonyítására, hogy a B bázisú szabad csoport minden más definíciója ekvivalens. $b$ $g$ $G:F\–A,$ $g=G\circ b.$

Alcsoportok

Tétel : Legyen egy szabad Abel-csoport, és legyen ennek alcsoportja . Aztán van egy ingyenes Abel csoport is $F$ $G\F részhalmaz$ $G$ .

Ennek a tételnek a bizonyításához a választás axiómája szükséges [4] . Serge Leng algebrája Zorn lemmájával [ 5] nyújt bizonyítást , míg Solomon Lefschetz és Irving Kaplansky amellett érvel, hogy a Zorn-lemma helyett a jó rendezés elvét használva intuitívabb bizonyítást ad [6] .

A végesen generált csoportok esetében a bizonyítás egyszerűbb, és pontosabb eredményt ad:

Tétel : Legyen egy véges generált szabad csoport részcsoportja . Akkor szabad, van a csoport és a természetes számok alapja (azaz mindegyik szám osztja a következőt), úgy, hogy bázist képezzen . Ráadásul a sorozat csak a és -től függ , de nem a bázis megválasztásától $G$ $F$ $G$ $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ $F$ $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ $G.$ $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ $F$ $G$ . [egy]

Torzió és oszthatóság

Minden szabad Abel -csoport torziómentes , vagyis nincs olyan x csoportelem és nem nulla n szám , amelyre nx = 0 lenne. Ezzel szemben bármely véges generált torziómentes Abel-csoport szabad [7] . Hasonló állítások igazak, ha a „torziómentes csoport” szavakat „ lapos csoport”-ra cseréljük: az Abeli-csoportok esetében a síkság egyenértékű a csavarás hiányával.

A racionális számok csoportja egy példa a torziómentes Abel-csoportra, amely nem szabad. Az utolsó állítás bizonyításához elegendő megjegyezni, hogy a racionális számok csoportja osztható , míg egy szabad csoportban a bázis egyik eleme sem lehet többszöröse egy másik elemnek [1] . $\mathbb {Q}$

Közvetlen összegek és termékek

Bármely szabad Abeli-csoport leírható valamilyen másolathalmaz közvetlen összegeként (a rangjával egyenértékű). A tetszőleges számú szabad Abeli-csoport közvetlen összege is szabad; alapjául a terminusok alapjainak egyesülését vehetjük. [egy] $\mathbb {Z}$

Véges számú szabad Abel-csoport közvetlen szorzata is szabad, és izomorf a közvetlen összegükkel. Ez azonban nem igaz végtelen számú csoport szorzatára; például a Baer-Specker csoport, amely megszámlálható példányszám közvetlen szorzata , nem szabad Abeli-féle [8] [9] . Ugyanakkor bármelyik megszámlálható alcsoportja szabad Abeli-féle [10] . ${\mathbb Z}^{{{\mathbb N}}},$ ${\mathbb Z},$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Szabad Abel-csoportok // Algebra . - Springer, 1974. - 1. évf. 73.—P. 70–75. — (Matematika diplomás szövegei). Archiválva : 2014. augusztus 9. a Wayback Machine -nál
↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. A tömör csoportok felépítése: Alapozó diákok számára – Kézikönyv a szakértőnek . - Walter de Gruyter, 2006. - Vol. 25. - P. 640. - (De Gruyter matematikai tanulmányok). — ISBN 9783110199772 . Archiválva : 2014. augusztus 9. a Wayback Machine -nál
↑ Mollin, Richard A. Haladó számelmélet alkalmazásokkal . - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 . Archiválva : 2014. augusztus 11. a Wayback Machine -nálHaladó számelmélet alkalmazásokkal]. - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 .
↑ Blass, Andreas. Injektivitás, projektivitás és a választás axiómája // Transactions of the American Mathematical Society. - 1979. - 1. évf. 255.—P. 31–59. - doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 . . A 7.1. példa egy halmazelméleti modellt és egy nem szabad projektív Abel-csoportot mutat be ebben a modellben, amely egy szabad Abel-csoport alcsoportja, ahol A jelentése atomok halmaza. $\left({\mathbb {Z}}^{{(A)))\right)^{n},$
↑ Lang, Serge. Algebra. - Springer-Verlag, 2002. - Vol. 211. - P. 880. - (Matematika érettségi szövegek). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Kaplansky, Irving. Halmazelmélet és metrikus terek . - AMS, 2001. - Vol. 298.—P. 124–125. - (AMS Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780821826942 . Archiválva : 2014. január 3. a Wayback Machine -nél
↑ Lee, John M. Szabad Abeli-csoportok // Introduction to Topological Manifolds . — Springer. - P. 244-248. — (Matematika diplomás szövegei). — ISBN 9781441979407 . Archiválva : 2014. augusztus 11. a Wayback Machine -nál
↑ Griffith, Phillip A. Végtelen Abeli csoportelmélet . – University of Chicago Press, 1970. – 1. o., 111–112. — (Chicagói matematikai előadások). — ISBN 0-226-30870-7 .
↑ Baer, Reinhold. Abeli csoportok véges rendű elemek nélkül // Duke Mathematical Journal. - 1937. - 1. évf. 3, 1. sz . — P. 68–122. - doi : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
↑ Specker, Ernst. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. - 1950. - 1. évf. 9. - P. 131-140.