Az Einstein-egyenletek megoldásai

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az Einstein-egyenlet megoldása a metrikus tér-idő tenzor alakjának megtalálását jelenti . A feladat a peremfeltételek , koordinátafeltételek és az energia-impulzus tenzor felírásával történik, amely leírhat egy ponttömegű objektumot, elosztott anyagot vagy energiát, és az egész Univerzum egészét. Az energia-impulzus tenzor alakjától függően az Einstein-egyenlet megoldásai vákuum-, tér-, elosztott, kozmológiai és hullámmegoldásokra oszthatók. A megoldások tisztán matematikai osztályozásai is léteznek, amelyek az általuk leírt téridő topológiai vagy algebrai tulajdonságain, vagy például egy adott tér Weyl-tenzorának algebrai szimmetriáján alapulnak ( Petrov-féle osztályozás ). $g_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$

Helykitöltés szerinti osztályozás

Ez a besorolás az energia-impulzus tenzor formája alapján történik, és itt többféle megoldás különböztethető meg: $T_{{\alpha \beta }}$

Vákuumos oldatok - ilyen oldatokat kapunk, ha:

T_{\alpha \beta }=0.

Így az Einstein-egyenletek a következőkre redukálódnak:

G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }=0

vagy

R_{\alpha \beta }=\Lambda g_{\alpha \beta }.

A matematikában az ilyen megoldásokat Einstein-tereknek nevezik, és sok munkát szentelnek tanulmányozásuknak a riemann és pszeudo-riemann geometria keretein belül.

Ezen megoldások közül a legegyszerűbb a Minkowski téridő, amely egy abszolút üres teret ír le kozmológiai állandó hiányában. Ezek a megoldások egy hatalmas, kompakt objektum körüli téridőt is leírhatják (a felületéig vagy szingularitásáig). Ide tartoznak a Schwarzschild , Schwarzschild-Desitter [1] , Kerr , Reissner-Nordström, Kerr-Newman, Newman-Unti-Tamburino (NUT), Taub-NUT, Kottler, Eretz-Rosen, Cuvedo és mások mérőszámai. $\lambda=0$

Az ilyen megoldások fontos osztálya fizikai szempontból a hullámmegoldások is, amelyek a gravitációs hullámok terjedését írják le az üres térben.

Mezőmegoldások - néha különböző mezőket tekintenek a gravitációs mező forrásának. Tömeg nélküli mező esetén gyakran a következőket veszik:

elektromágneses mező (az Einstein-Maxwell egyenletek által generált elektrovákuum-oldatok, ahogy mondani szokták)

T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha }{}_{\lambda }F^{\lambda \beta }+{ \frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right);

tömeg nélküli skalármező (skaláris megoldások)

T^{\alpha \beta }=8\pi \left(\phi ^{;\alpha }\phi ^{;\beta }+{\frac {1}{2}}\phi _{; \mu }\phi ^{;\mu }g^{\alpha \beta }\right).

A masszív mezők közül skaláris mezőt használnak (általában nem triviális önműködéssel) - így kapják a bozonikus csillagokat - vagy a klasszikus Dirac-mezőt (bispinor).

Elosztott megoldások - az ilyen megoldások különféle típusú anyagokat írnak le, amelyekre általában a "folyékony" közelítést alkalmazzák: poros, gáznemű vagy folyékony anyag. A közelítés érvényessége abból adódik, hogy általában az égi mechanika és asztrofizika gravitációs problémáiban az anyag nagyon nagy feszültségeket él át, így folyékony lesz, és a benne lévő feszültségek nonizotrópiája elhanyagolható.

Itt a tenzort egy elosztott tömegre (energia-tömeg mezőre) szerkesztjük, és az elosztott anyag két fő használt reprezentációját különböztetjük meg: $T_{\mu \nu }$

ideális folyadék (folyékony oldatok)

T_{\alpha \beta }=(\rho +p)u_{\alpha }u_{\beta }+pg_{\alpha \beta },

ahol a folyadék sebességének egy adott pontban 4-vektoraként értelmezve, a folyadék energiasűrűsége és nyomása, amelyet az állapotegyenlettel kell összefüggésbe hozni ( a folyadék hőmérséklete); $u^{{\alpha }}$ $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ $\rho$ $p$ $p=f(\rho ,T)$ $T$

a nem kölcsönhatásba lépő por (poroldatok) az előző eset speciális esete $p\equiv 0$

T_{\alpha \beta }=\rho u_{\alpha }u_{\beta }.

Megmutatható, hogy a por mozgása során minden eleme a generált metrika geodéziai vonala mentén mozog.

Általánosságban elmondható, hogy teljes algebrai osztályozást készíthetünk a második vegyérték lehetséges tenzorairól - például az Einstein-tenzorról vagy az energia-impulzusról. Az ilyen osztályozások változatai: A. Z. Petrov által a négydimenziós téridő esetére kidolgozott Segre-féle tenzorosztályozás (hibával - az egyik lehetséges típus kihagyásával - szintén Landau és Lifshitz térelméletéből származtatva), valamint R. Penrose-féle spinor. osztályozás. A fent felsorolt energia-impulzus tenzorok mindegyike algebrailag speciális ezen osztályozások szerint.

A kozmológiai állandó nagysága szerint

A -val való megoldások az Einstein-egyenletek megoldásai lambda-tag nélkül. $\Lambda \,=0$

A -val való megoldások az Einstein-egyenletek lambda tagú megoldásai, amelyek jelenléte bonyolítja a megoldást, de lehetővé teszi stacionárius metrikák elérését. E megoldások közül a legegyszerűbb a de Sitter metrika. $\Lambda \,\neq 0$

Pontos és közelítő megoldások

Pontos megoldások

Hozzávetőleges megoldásokat kapunk például az Einstein-egyenletek egyes paramétereinek nem relativisztikus közelítésével - poszt-newtoni formalizmussal , vagy kis paraméterek kiterjesztésével.

Osztályozás idő szerint

Helyhez kötött megoldások – időszerű Killing vektormezővel . Számukra létezik egy inerciális vonatkoztatási rendszer , ahol a metrikus tenzor nem függ az időtől.

Statikus megoldások – a Killing mezőjük időszerű és ortogonális az állandó idő-térszerű felületek családjára. Ilyen megoldások közé tartozik a Schwarzschild-metrika .
Nem statikus megoldások - változó gravitációs mezőt írnak le, de számukra olyan megfigyelők csoportja található, akik nem észlelnek semmilyen változást a gravitációs mezőben. Ezek közé tartozik a Kerr-mutató is.

Nem helyhez kötött megoldások

Hullámmegoldások - írják le a gravitációs hullámokat.

Osztályozás a térszimmetria szerint

Izotróp megoldások – görbületük egyformán változik egy adott pontból húzott tengely mentén.

A homogén megoldások olyan megoldások, amelyek bármelyik pontjukhoz képest izotrópak, azaz a tér bármely pontjában azonos görbülettel rendelkeznek.
Gömbszimmetrikus megoldások - a kétdimenziós gömbök geometriájával rendelkező felületeken a görbület állandó. Az ilyen gömbök szimmetriaközéppontja valós téridő-eseményként egyáltalán nem létezik, mint a féreglyukak esetében . Ezeket a megoldásokat a statikus fekete lyukak , féreglyukak és nem forgó csillagok körüli tér leírására használják .

Anizotróp oldatok.

Tengelyszimmetrikus megoldások - a görbület állandó azokon a vonalakon, amelyeknek a körök geometriája egymással párhuzamos. Tekintettel a szimmetriatengely eseményeinek létezésére, kiválaszthatunk rajta egy pontot, és azt mondhatjuk, hogy a görbület függ mind a pont távolságától, mind a poláris szögtől (gömbi koordinátákban). Ezeket a megoldásokat a forgó fekete lyukakhoz, csillagokhoz, galaxisokhoz lehet hasonlítani .
Tükörszimmetrikus megoldások - metrikájuk szimmetrikus a háromdimenziós síkhoz képest.
Aszimmetrikus megoldások.

Aszimptotikus osztályozás

Ez a besorolás az oldat viselkedésén alapul a fényszerű végtelenben.

Aszimptotikusan lapos megoldások - az ilyen megoldások általában nulla kozmológiai állandónál és az energia-impulzus tenzor kompakt hordozóján keletkeznek. A fényszerű végteleneken (vagy legalábbis azok részein) egy ilyen téridő meglehetősen gyorsan lapos Minkowski térré hajlik. Ezek a megoldások nagyon fontosak fizikai szempontból, hiszen jó közelítéssel írják le a szigetrendszereket - csillagászati testek magányos rendszereit, például fekete lyukakat, bolygórendszereket, több csillagot, sőt galaxisokat is.

Az ilyen megoldásoknál az aszimptotikus tér-idő szimmetriák csoportja (a Bondi-Metzner-Sachs csoport) lehetővé teszi a megmaradt energia-impulzus 4-vektor meghatározását és a rendszer energiájának gravitációs sugárzássá való átmenetének kiszámítását.

A kozmológiai megoldások a fizikai kozmológia alapját képezik . Leírják a hozzávetőlegesen homogénnek és izotrópnak feltételezett Univerzum szerkezetét és fejlődését . Az ilyen megoldásokat az elosztott megoldások közé sorolják , mivel általában a porrészecskékből-galaxisokból származó poros anyag állítja be őket az Univerzum fejlődésének jelenlegi szakaszába.

Mára az Univerzum "egészeként" leíró, egyetemesen elismert kozmológiai alapmegoldás a Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker megoldás [2] [3] [4] . Korábban más megoldásokat is fontolóra vettek - Einstein, Lemaitre, Eddington mérőszámait.

Zárt megoldások - elvileg az Einstein-egyenletek, mint lokális egyenletek gyengén korlátozzák a megoldás globális topológiáját, amit a kezdeti feltételek adnak meg. Így lehetőség van egyenletmegoldások megalkotására még a topológia erősen patológiás eseteire is. A legegyszerűbb példa a Minkowski-tér, amelyet hipersíkok azonosításával tóruszba hajtanak , tetszőleges számú dimenzióban, akár időben is. $x^{\alpha }=0$ $x^{\alpha }=x_{0}^{\alpha }$

Ennek ellenére az Einstein-egyenlet bizonyos megszorításai még mindig előírják, például az állandó pozitív skaláris görbület terét szükségszerűen zárni kell.

Osztályozás izotróp kongruenciák szerint (Petrov-féle osztályozás)

Novikov önkonzisztencia-elve

A Novikov-önkonzisztencia- elv az időutazással kapcsolatos paradoxonok feloldására hivatott elv, amelyet elméletileg lehetővé tesz az Einstein-egyenletek egyes megoldásai, lehetővé téve zárt időszerű vonalak létezését .

Lásd még

Az általános relativitáselmélet matematikai megfogalmazása
Általános relativitáselmélet
Projekt: fizika/listák/híres relativista tudósok listája
Einstein egyenletek

Jegyzetek

↑ A Wikipédián van egy Schwarzschild-megoldás vagy Schwarzschild-metrika cikk
↑ Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker metrika .
↑ Georges Lemaitre .
↑ Fridman, Alekszandr Alekszandrovics .

Irodalom

Az Einstein-egyenletek pontos megoldásai. Szerk. E. Schmutzer M .: Energoizdat, 1982. - 416 p.
Hawking , Ellis A téridő nagy léptékű szerkezete.
JA Wheeler. Gravitáció / JA Wheeler, C. Misner, K. S. Thorne. - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler. Gravitáció és tehetetlenség / JA Wheeler, I. Ciufolini. - Princeton University Press , 1995. - ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne. Relativitáselmélet, gravitáció és kozmológia. - The Open University, Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0-521-13138-4 .