Schwarzschild metrika

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Schwarzschild-metrika az Einstein-egyenletek egyetlen gömbszimmetrikus egzakt megoldása , amely a Birkhoff -tétel miatt üres térben nem tartalmaz kozmológiai állandót . Ez a mérőszám pontosan leírja egy magányos, nem forgó és töltetlen fekete lyuk gravitációs terét, valamint egy magányos gömbszimmetrikus tömegű testen kívüli gravitációs teret. Karl Schwarzschildról nevezték el , aki először 1916 -ban fedezte fel .

Ez a megoldás statikus, így gömb alakú gravitációs hullámok lehetetlenek.

A mérőszám típusa

Schwarzschild koordináták

Az úgynevezett Schwarzschild-koordinátákban , amelyek közül az utolsó 3 hasonló a gömbalakúakhoz , a Schwarzschild-téridő fizikailag legfontosabb részének metrikus tenzora topológiával (a kétdimenziós euklideszi tér régiójának szorzata és egy kétdimenziós gömb) alakja van $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\szer S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\jobbra)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmátrix}}.

Az intervallum ebben a metrikában a következőképpen van írva

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\jobbra),

ahol az úgynevezett Schwarzschild-sugár , vagy gravitációs sugár , a gravitációs teret létrehozó tömeg (különösen egy fekete lyuk tömege), a gravitációs állandó , a fénysebesség . Ebben az esetben a koordináták változásának területe a pontok azonosításával és , mint a szokásos gömbkoordinátákban . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $c$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta,\varphi =0)$ $(t,r,\theta ,\varphi =2\pi )$

A koordináta nem a sugárvektor hossza, hanem úgy van megadva, hogy a gömb területe az adott metrikában egyenlő legyen . Ebben az esetben két eltérő (de más koordinátákkal azonos) esemény közötti „távolságot” az integrál adja meg. $r$ $t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

A vagy ponton a Schwarzschild-metrika (összetevőnként) a Minkowski-metrikára hajlik gömbi koordinátákban, így a téridő messze nem egy hatalmas testtől az aláírás pszeudo-euklideszi mutatójának bizonyul . Mivel az at és monoton növekedésével növekszik , így a megfelelő idő a test közelében lévő pontokon „lassabban folyik”, mint távolabb, vagyis a gravitációs idő lassulása tömeges testeknél következik be. $M\-től 0-ig$ $r\to\infty$ $M$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Differenciál jellemzők

Egy vákuumban lévő, központilag szimmetrikus gravitációs mezőre (és ez a Schwarzschild-metrika esete) feltehetjük:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Ekkor a nullától eltérő független Christoffel-szimbólumok formája van

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\operátornév {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

A görbületi tenzor invariánsai az

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\jobbra)^{3}.

A görbületi tenzor Petrov típusú . $\mathbf {D}$

Tömeghiba

Ha a "sugár" anyagnak gömbszimmetrikus eloszlása van (koordinátákban) , akkor a test össztömege energia-impulzus tenzorában fejezhető ki a képlettel $a$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

Különösen az anyag statikus eloszlásánál , ahol az energiasűrűség a térben. Figyelembe véve, hogy a gömbréteg térfogata az általunk választott koordinátákban egyenlő $T_{0}^{0}=\varepszilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

azt kapjuk

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Ez a különbség a testtömeg gravitációs hibáját fejezi ki . Elmondható, hogy a rendszer teljes energiájának egy részét a gravitációs mező energiája tartalmazza, bár ezt az energiát lehetetlen a térben lokalizálni.

Szingularitás metrikában

Első pillantásra a mérőszám két jellemzőt tartalmaz: at és at . Valójában a Schwarzschild-koordinátákban egy testre eső részecskének végtelen hosszú időre van szüksége ahhoz , hogy elérje a felszínt , azonban az átmenet például a Lemaitre-koordinátákra a változó vonatkoztatási rendszerben azt mutatja, hogy az incidens szempontjából. megfigyelő, ezen a felületen nincs tér-idő jellemző, és magát a felületet és a régiót is egy véges megfelelő idő alatt érjük el . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\kb 0$

A Schwarzschild-metrika valódi szingularitása csak a -nál figyelhető meg , ahol a görbületi tenzor skaláris invariánsai a végtelenbe hajlanak . Ez a tulajdonság ( szingularitás ) nem küszöbölhető ki a koordinátarendszer megváltoztatásával. $r\ 0-ra$

Eseményhorizont

A felszínt eseményhorizontnak nevezzük . A koordináták jobb megválasztásával, például Lemaitre vagy Kruskal koordinátákkal, kimutatható, hogy az eseményhorizonton keresztül semmilyen jel nem léphet ki a fekete lyukból. Ebben az értelemben nem meglepő, hogy a Schwarzschild fekete lyukon kívüli mező csak egy paramétertől függ - a test teljes tömegétől. $r=r_{s}$

Kruskal koordinátái

Megpróbálhatunk olyan koordinátákat bevezetni, amelyek nem adnak szingularitást a helyen . Számos ilyen koordinátarendszer ismert, ezek közül a leggyakoribb a Kruskal koordinátarendszer, amely egy térképpel lefedi az Einstein-féle vákuumegyenleteket kielégítő teljes maximálisan kiterjesztett sokaságot (a kozmológiai állandó nélkül). Ezt a nagyobb téridőt szokták (maximálisan kiterjesztett) Schwarzschild-térnek vagy (ritkábban) Kruskal-térnek ( Kruskal–Szekeres diagram ) nevezni. A Kruskal koordinátákban lévő metrika alakja $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

ahol , és a függvényt (implicit módon) az egyenlet határozza meg . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

A tér maximális , azaz izometrikusan már nem ágyazható be nagyobb téridőbe, és a Schwarzschild-koordinátákban ( ) szereplő terület csak egy rész (ez az ábrán a terület - I. terület). A fénynél lassabban mozgó test - egy ilyen test világvonala olyan görbe lesz, amelynek dőlésszöge a függőlegeshez képest kisebb, mint , lásd a görbét az ábrán - távozhat . Ebben az esetben a II. régióba esik, ahol . Amint az ábrán látható, ezt a területet már nem tudja elhagyni és oda visszatérni (ehhez egynél többet kellene eltérni a függőlegestől, vagyis túllépni a fénysebességet). A II. régió tehát egy fekete lyuk. Ennek határa (polivonal, ) ennek megfelelően az eseményhorizont. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\ r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Van még egy aszimptotikusan lapos III. tartomány, amelyben Schwarzschild-koordinátákat is bevezethetünk. Ez a régió azonban ok-okozatilag nem kapcsolódik az I. régióhoz, ami lehetetlenné teszi, hogy az eseményhorizonton kívül maradjon róla bármilyen információ. Egy csillagászati objektum valós összeomlása esetén a IV. és a III. régió egyszerűen nem jön létre, mivel a bemutatott diagram bal oldalát egy nem üres téridővel kell helyettesíteni, amely tele van összeomló anyaggal. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Megjegyezzük a maximálisan kiterjesztett Schwarzschild-tér számos figyelemre méltó tulajdonságát : ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

Szinguláris: a horizont alá eső megfigyelő koordinátája csökken, és nullára hajlik, amikor a megfelelő ideje valamilyen véges értékre hajlik . Világvonala azonban nem terjeszthető ki a területre , mivel ebben a térben nincsenek pontok . Így a megfigyelő sorsát csak (saját) idejében egy bizonyos pontig ismerjük. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Bár a tér statikus (világos, hogy a metrika (1) nem függ az időtől), a tér nem az. Ezt szigorúbban a következőképpen fogalmazzuk meg: a Killing vektor , amely ben időszerű , a kiterjesztett tér II. és IV. régiójában térszerűvé válik . ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
A III. régió szintén izometrikus . Így a maximálisan kiterjesztett Schwarzschild-tér két "univerzumot" tartalmaz - a "miénket" (ezt ) és egy másikat ugyanabból. Az őket összekötő fekete lyukon belüli II. régiót Einstein-Rosen hídnak nevezik . Az I-ből induló és a fénynél lassabban haladó megfigyelő nem tud bejutni a második univerzumba (lásd 1. ábra), azonban a horizont átlépése és a szingularitás elérése közötti időintervallumban már látni fogja. A téridőnek ez a szerkezete, amely megmarad, sőt bonyolultabbá válik, ha bonyolultabb fekete lyukakat veszünk figyelembe, számos spekulációt szült a lehetséges „más” univerzumokról és a bennük lévő fekete lyukakon való utazásról mind a tudományos irodalomban, mind a tudományos-fantasztikában (lásd: Molekulák ). odúk ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Orbitális mozgás

Megszerzés és értelmezés története

A jelentős elméleti érdeklődésre számot tartó Schwarzschild-metrika a teoretikusok egyfajta eszköze is, amely látszólag egyszerű, de mégis azonnal nehéz kérdésekhez vezet.

1915 közepén Einstein közzétette a gravitációelmélet előzetes egyenleteit . Ezek még nem voltak Einstein egyenletei, de már egybeestek a vákuum eset végső egyenleteivel . Schwarzschild integrálta a gömbszimmetrikus egyenleteket a vákuumra az 1915. november 18-tól az év végéig tartó időszakban. 1916. január 9-én Einstein, akihez Schwarzschild a Berliner Berichtében írt cikkének megjelentetésével fordult, azt írta neki, hogy "nagy szenvedéllyel olvasta művét", és "megdöbbentette, hogy a probléma valódi megoldását így lehet kifejezni. könnyen" - Einstein kezdetben kételkedett abban, hogy egyáltalán lehetséges-e megoldást találni ilyen összetett egyenletekre. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild márciusban fejezte be munkáját, gömbszimmetrikus statikus belső megoldást is kapott egy állandó sűrűségű folyadékhoz. Ekkor egy betegség ( pemphigus ) tört rá, ami miatt májusban a sírba került. 1916 májusa óta I. Droste, G. A. Lorentz tanítványa, aki a végső Einstein-téregyenletek keretében végzett kutatásokat, ugyanerre a problémára a Schwarzschildnál egyszerűbb módszerrel kapott megoldást. Övé az első próbálkozás is, amely a megoldás Schwarzschild-szférájába hajló divergenciáját elemzi.

Droste nyomán a legtöbb kutató kezdett megelégedni a Schwarzschild-szféra áthatolhatatlanságának bizonyítását célzó különféle megfontolásokkal. Ugyanakkor az elméleti jellegű megfontolásokat egy fizikai érv is alátámasztotta, miszerint „ez a természetben nem létezik”, hiszen nincsenek olyan testek, atomok, csillagok, amelyek sugara kisebb lenne, mint a Schwarzschild-sugár. .

K. Lanczos és D. Gilbert számára a Schwarzschild-szféra alkalmat adott a „szingularitás” fogalmának elgondolkodtatására, P. Painlevé és a francia iskola számára vita tárgya volt, amelybe Einstein is bekapcsolódott.

Az 1922-es párizsi kollokviumon, amelyet Einstein látogatása kapcsán szerveztek, nemcsak az az elképzelés volt, hogy a Schwarzschild-sugár nem lesz egyedi, hanem egy hipotézis is, amely előrevetíti azt, amit ma gravitációs összeomlásnak neveznek .

Schwarzschild ügyes fejlesztése csak viszonylagos sikert hozott. Sem a módszerét, sem az értelmezését nem fogadták el. Munkásságából szinte semmi nem maradt meg, kivéve a metrika „csupasz” eredményét, amelyhez a készítőjének neve társult. De az értelmezés és mindenekelőtt a „Schwarzschild-féle szingularitás” kérdése még nem oldódott meg. Kezdett kikristályosodni az a nézőpont, hogy ez a szingularitás nem számít. Két út vezetett ehhez a nézőponthoz: egyrészt az elméleti, amely szerint a "Schwarzschild-szingularitás" áthatolhatatlan, másrészt az empirikus, amely abban áll, hogy "ez nem létezik természet." Ez a nézőpont elterjedt és uralkodóvá vált az akkori összes szakirodalomban.

A következő szakasz a gravitáció intenzív tanulmányozásához kapcsolódik a relativitáselmélet "aranykorának" kezdetén.

Irodalom

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. ford.: Schwarzschild K. A ponttömeg gravitációs teréről Einstein elméletében // Albert Einstein és a gravitáció elmélete. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amszterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. Karl Schwarzschild emlékére // Einstein A. Tudományos közlemények gyűjteménye. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Az általános relativitáselmélet századik évfordulója (1915-2015); A Schwarzschild-megoldás és a fekete lyukak . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Lásd még

Linkek

A relativitáselmélet főbb következtetései

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai

Fekete lyukak

Típusok

Méretek

Oktatás

Tulajdonságok

Modellek

elméletek

Pontos megoldások az általános relativitáselméletben

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Pontos fekete lyuk megoldás

Kapcsolódó témák

Fekete lyukak listája
- A kvazárok listája
A fekete lyuk fizika krónikája
RXTE
Hiperkompakt csillagrendszer
szingularitás reaktor
A numerikus relativitáselmélet
Gravitációs hullámok

Kategória: Fekete lyukak