Hopf köteg

A Hopf -szál egy háromdimenziós gömb lokálisan triviális rostosításának példája egy kétdimenziós gömbön, rétegkörrel :

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

A Hopf-csomag nem triviális. Ez is egy fontos példa egy fő csomagra .

A köteg meghatározásának egyik legegyszerűbb módja az, hogy a 3- as gömböt egységgömbként ábrázoljuk -ben , a 2-gömböt pedig komplex projektív egyenesként . Aztán a kijelző: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

és meghatározza a Hopf köteget. Ebben az esetben a köteg szálai a csoport szabad mozgásának pályái lesznek : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

ahol a kör egység modulo komplex számok halmazaként van ábrázolva:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Általánosítások

Hasonlóképpen, egy páratlan dimenziójú gömb rétegkörrel rétegeződik a felett . Néha ezt a köteget Hopf-kötegnek is nevezik. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

Ezen kívül (a " komplex " mellett) léteznek valódi , kvaterniós és oktávos változatai is az ilyen kötegcsaládoknak. A következőkkel kezdődnek:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(igazi),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(komplex - megfelelő Hopf-szálas),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(négy részből álló),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(oktáv).

Ilyen gömbkötegek , amelyeknél a réteg, az alap és a teljes tér is gömb, csak a következő esetekben lehetségesek . Ezen esetek kizárólagossága abból adódik, hogy a szorzás nulla osztók nélkül csak -ra definiálható . $S^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\))$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\))$

Lásd még

A Riemann-gömb egy összetett projektív vonal, a Hopf-köteg alapsokanya
Az U(1) egységcsoport a Hopf-köteg szerkezeti csoportja
Háromdimenziós gömb - a Hopf-szál teljes tere
A Poincaré -gömb és a Bloch-gömb – a Hopf-köteg a fizikában egy keresztirányú hullám polarizációját, egy kétszintű kvantumrendszer állapotát, az égi gömb relativisztikus torzulását írja le, és így tovább [1] [2]
Milnor szférája

Jegyzetek

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinorok és téridő, spinor és twistor módszerek a tér-idő geometriában . - Moszkva "Mir", 1988. - S. 78. (Orosz) Archivált másolat (hozzáférhetetlen hivatkozás) . Hozzáférés időpontja: 2012. február 1. Az eredetiből archiválva : 2015. október 3. (határozatlan)
↑ D.N. Klyshko. Bogyó geometriai fázisa oszcillációs folyamatokban // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Orosz Tudományos Akadémia , 1993. - T. 163 , 11. sz . - S. 1 . (Orosz)

Hopf köteg

Általánosítások

Lásd még

Jegyzetek

Linkek