Egyszerű ideál

A prímideál a prímszám fogalmának természetes általánosítása a gyűrűelméletben .

A kommutatív algebra egyik legfontosabb konstrukciója a prímideál fogalmát használva a gyűrű lokalizációja .

Definíció

Egy gyűrűben lévő ideálról azt mondjuk , hogy egyszerű , ha a hányadosgyűrű az integritás tartománya . $én$ $A$ $A/I$

Ekvivalens megfogalmazás: ha és a vagy -ból következik , akkor elsődleges ideál. $I\neq A$ $ab\in I$ $a\in I$ $b\in I$ $én$

Kapcsolódó fogalmak

A gyűrű összes primer ideáljának halmaza alkotja a gyűrű spektrumát . Definíciója tartalmazza a lokális gyűrűk topológiájának és szerkezeti kötegének leírását is, affin sémává alakítva , az algebrai geometria alapvető tárgyává . $A$ ${\mathrm {Spec}}A$

Tulajdonságok

A gyűrű maximális ideálja (vagyis egy megfelelő ideál, amelyet egyetlen megfelelő ideál sem tartalmaz) a príma. $én$ $A$

Bizonyíték

Valóban, hagyjuk , . Nézzük az ideálist . Mivel ez maximum, vagy (ami lehetetlen, hiszen ) vagy . De akkor , és ezért . $ab\in I$ $a\notin I$ $J=I+aA$ $én$ $J=I$ $a\notin I$ $J=A$ $1\in I+aA$ $b\in bI+baA=I$

Az ideál akkor és csak akkor egyszerű, ha komplementerének elemei multiplikatív rendszert alkotnak . Az egységnyi gyűrű egy részhalmazát szorzórendszernek nevezzük, ha tartalmaz egységet, nem tartalmaz nullát, és a szorzás alatt zárt. $én$
Elválasztási tétel: Adjunk meg egy ideált egy kommutatív gyűrűben, amelynek egysége nem metszi a multiplikatív rendszert . Ekkor létezik egy primer ideál , amely tartalmazza a rendszert és disjunktja a rendszert . $A$ $én$ $S_{0}$ $I_0$ $én$ $S_{0}$
Radikális tétel: Az ideált tartalmazó összes elsődleges ideál metszéspontja egybeesik az ideális gyökével . Az ideál radikálisa a halmaz . Gyűrűnek is ideális . $én$ $én$ $én$ ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}$ $A$

Bizonyíték

Legyen egy elsődleges ideál, amely tartalmazza . Ha egy elem a gyökhöz tartozik , akkor egyes hatványai az ideálhoz tartoznak , ezért nem tartozhat a -hoz tartozó komplementerhez , mivel ez a komplementer egy multiplikatív rendszer (ha tartalmazza a -t , akkor az összes hatványát is tartalmazza). Ennélfogva az ideált tartalmazó összes elsődleges ideálhoz tartozik . Megfordítva: ne tartozzon a radikálishoz . Ekkor az összes hatványának halmaza egy multiplikatív rendszer, amely nem metszi egymást . Az elõzõ tétel szerint létezik olyan prímideál, amely tartalmazza és nem is tartalmazza az elem hatványait . Ezért nem tartozik minden ideált tartalmazó elsődleges ideálhoz . $J$ $én$ $f$ ${\sqrt {I}}$ $I\subset J$ $f$ $J$ $f$ $f$ $én$
$f$ ${\sqrt {I}}$ $én$ $én$ $f$ $f$ $én$

Példák

Az egész számok gyűrűjében minden prímideál alakja , ahol egy prímszám . $A=\mathbb {Z}$ $pa$ $p$

Bizonyíték

Legyen a legkisebb pozitív szám -ben . Vegyünk egy tetszőlegeset , és osszuk el a maradékkal : , ahol . A választásnak köszönhetően nálunk , i.e. minden elem osztható -vel . Így, . $a\in I$ $én$ $b\in I$ $a$ $\quad b=a*g+r$ $0\leq r<a$ $a$ $r=0$ $én$ $a$ $I=a\mathbb {Z}$

Tegyük fel most . Mivel a vagy -ből következik , egy prímszám. $I=pA$ $ab\in pA$ $a\in pA$ $b\in pA$ $p$

Az egy változó polinomjainak gyűrűjében minden prímideál alakja , ahol egy irreducibilis polinom felett . $A=\mathbb {R} [x]$ $pa$ $p$ $\mathbb {R}$
Polinom gyűrűben a halmaz prímideál. $A=\mathbb {Q} [x,y]$ $I=xA+yA$

Bizonyíték

Bármely elem ábrázolható , ahol van néhány polinom, és az elem egyedileg határozza meg . A feltétel ekkor egyenértékű a feltétellel , ami azt jelenti, hogy vagy , vagy . $a\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y$ $a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a_{0}\in \mathbb {Q}$ $a$ $ab\in I$ $a_{0}b_{0}=0$ $a_{0}=0$ $b_{0}=0$

Nem kommutatív eset

A kommutatív gyűrű prímideáljának fogalma az elsődleges ideál fogalmának egy speciális esete: egy (nem feltétlenül kommutatív) gyűrű elsődleges ideálja bármely olyan ideál (amely nem esik egybe az egész gyűrűvel), ha két elemek olyanok, hogy , akkor vagy , vagy . $én$ $A$ $a,b\in A$ $\forall r\in A\arb\in I$ $a\in I$ $b\in I$

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 .