Holstein-Primakov átalakulás

A Holstein-Primakov transzformáció az átmenet a spin operátorokról a magnonok (amelyek bozonok [1] ) létrehozására és megsemmisítésére szolgáló operátorokra . Theodor Holstein (1915-1985, néha a vezetéknevet holsteinnek írják) és Henry Primakov (1914-1983) [2] javasolta egy eredeti, 1940-ből származó cikkben [3] .

Az első Holstein-Primakov transzformáció

A spinhullámok tanulmányozása során általában áttérünk a spinkomponensek ciklikus kombinációira . Ez a következő módon történik. A mágneses momentumok (vagy spinek) dinamikáját a Landau-Lifshitz egyenlet írja le . Feltételezve, hogy egy ferromágnest erős mágneses térbe helyezünk, amelynek erőssége a z tengely mentén van , és közel van a telítettséghez (azaz az S hosszúságú spin-összetevők esetében az összefüggések ${\displaystyle H_{\mathrm {ext} ))$ $S_{z}\approx S$ $S_{x,y}\ll S$

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{ y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{ x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},

ahol a mágneses anizotrópia benne van a csereintegrálban , g a Lande-tényező és a Bohr-magneton . A spinhullámok tanulmányozásához ezt a két egyenletet az operátorokra írjuk ${\displaystyle J_{ji))$ $\mu _{B}$

S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},

alakjában

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}( S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\jobbra),

ahol i a képzeletbeli egység. [négy]

Ebben az esetben a Holstein-Primakov (első) transzformáció a helyettesítés

S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right) ^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dagger }\left(1-{\frac {1}{ 2S}}a_{j}^{\tőr }a_{j}\jobbra)^{1/2},

ahol a spin-gerjesztések ( kvázirészecskék ) létrehozásának operátora, a megsemmisítésük operátora. [2] [5] ${\displaystyle a_{j}^{\dagger ))$ $a_{j}$

Ez az átalakulás alacsony hőmérsékleten érvényes, amikor a kvázirészecskék száma kicsinek tekinthető. A spin Hamilton- diagonalizálásának követelménye azt mutatja, hogy a ferromágnesek elemi gerjesztései spinhullámok (vagyis kollektív gerjesztések) legyenek, és nem a rácshelyeken lokalizált spin eltérések az egyensúlyi állapottól. [6]

A második Holstein-Primakov transzformáció

Néha a második Holstein-Primakov transzformációról beszélnek, ami azt jelenti, hogy a kvázirészecskék operátorainak Fourier-transzformációjával és a hullámvektorokkal való ábrázolásukkal a spinhullámok létrehozására és megsemmisítési operátoraira kell áttérni : $a_{j}$ ${\displaystyle a_{j}^{\dagger ))$ ${\mathbf k}$

a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N))}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r } _{j)),\quad a_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {N))}\sum _{j}a_{j}^{\ tőr }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.

Az új operátorok ugyanazokat a kommutációs relációkat elégítik ki, mint a "régiek", ezért a Bose-részecskék létrehozásának és megsemmisítésének operátorainak is tekinthetők, de amelyek már kollektivizáltak. A velük kifejezett spin Hamilton-féle diagonalizált, magukat az operátorokat pedig a megsemmisítés és spinhullámok vagy magnonok létrehozásának operátorainak nevezzük . [7] ${\displaystyle a_{\mathbf {k} ))$ ${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{\tőr ))$

Lásd még

Második kvantálás

Jegyzetek

↑ Gurevich, Melkov, 1994 , p. 225.
↑ 12 Rössler , 2009 , p. 173.
↑ T. Holstein, H. Primakoff. A ferromágnes belső tartománymágnesezésének mezőfüggősége // Phys. Fordulat. - 1940. - T. 58 , 12. sz . – S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
↑ Rössler, 2009 , pp. 171-172.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , p. 230.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , p. 231-232.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , p. 232-233.

Irodalom

Gurevich A. G., Melkov G. A. Mágneses oszcillációk és hullámok. - M. : Fizmatlit, 1994. - 464 p. - 2000 példány. — ISBN 5-02-014366-9 .
Davydov A.S. Szilárdtestelmélet . - M . : Nauka, 1976. - S. 106 -108. — 646 p.
H. Haken. Szilárd testek kvantumtérelmélete. - M .: Nauka, 1980.
T. Holstein, H. Primakoff. A ferromágnes belső tartománymágnesezésének mezőfüggősége // Phys. Fordulat. - 1940. - T. 58 , 12. sz . – S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
Kei Yoshida. A mágnesesség elmélete. - Springer, 1998. - 1. évf. 122. - P. 120-125. – 320 p. - (Springer sorozat a szilárdtest-tudományokban). — ISBN 9783540606512 .
Ulrich Rossler. Szilárdtestelmélet: bevezetés. — 2. kiadás. - Springer, 2009. - 398 p. — ISBN 9783540927617 .