Almodul

Az almodul a modul egy részhalmaza , amely az additív csoportjának egy alcsoportja, és a főgyűrű elemeivel való szorzás alatt zárva van . Konkrétan a gyűrű bal (jobb) ideálja a bal (jobb) -modul almodulja . $R$ $R$ $R$

Kapcsolódó definíciók

A teljes modultól eltérő almodult natív modulnak nevezzük .
Egy részmodult nagynak (vagy lényegesnek ) nevezünk, ha nem nulla metszéspontja van bármely más nem nulla részmodullal.
- Például az egész számok a racionális számok csoportjának egy nagy részmodulját alkotják.
Minden modul az injektív shell egy nagy almodulja .
Egy modul egy részmodulját kicsinek (vagy koesszenciálisnak ) nevezzük , ha bármely részmodulra az egyenlőség azt jelenti . $A$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- Például a láncmodul minden megfelelő almodulja kicsinek bizonyul .

Egy adott modul részmoduljainak halmaza, befogadás szerint rendezve, egy teljes Dedekind- rács .
Az összes kis részmodul összege megegyezik az összes maximális részmodul metszéspontjával.
Egy baloldali ideál akkor és csak akkor tartozik a Jacobson -gyökhöz , ha kicsi bármely véges generált baloldali modulhoz . $én$ $IM$ $M$ $M$
Egy kis almodul elemei nem generátorok, vagyis a modul bármely generátorrendszere az ilyen elemek bármelyikének eltávolítása után is ilyen marad (ez persze nem jelenti azt, hogy egyszerre eltávolíthatók!) .
Egy modul endomorfizmus gyűrűjének Jacobson gyökje egybeesik a kis képű endomorfizmusok halmazával.
Ha egy modul homomorfizmusa egy modullá , akkor a halmaz a modul részmodulja, és a homomorfizmus magjának nevezzük . $\phi$ $A$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\subset A$
$A$ $\phi$
- Mindegyik almodul valamilyen homomorfizmus magjaként szolgál.

Kash F. Modulok és gyűrűk, - per. németből, M. , 1981;
Face K. Algebra: gyűrűk, modulok és kategóriák, - per. angol nyelvből, 1-2. kötet, Moszkva , 1977-79.