Inverz Galois probléma

Megoldatlan matematikai problémák : Van-e bármely véges csoport a racionális számok Galois -féle kiterjesztésének Galois-csoportja ?

Az inverz Galois-probléma a Galois-elmélet nyitott problémája , amelyet a 19. század elején állítottak fel: bármely véges csoport a racionális számok Galois-féle kiterjesztésének Galois-csoportja-e . [1] . $\mathbb {Q}$

Számos permutációs csoport létezik, amelyekre általános polinomok ismertek , amelyek meghatározzák annak a csoportnak az összes algebrai kiterjesztését, amelynek egy adott csoportja Galois-csoport. Ezek a csoportok magukban foglalják az 5 -nél nem magasabb végzettségű csoportokat . Vannak olyan csoportok is, amelyeknek nincs általános polinomja, ilyen például a 8 -as rendű ciklikus csoport . $\mathbb {Q}$

Általánosabban fogalmazva, legyen G egy adott véges csoport, K pedig egy mező. Ekkor a kérdés: létezik-e az L/K mezőnek olyan Galois-féle kiterjesztése , hogy a kiterjesztésének Galois-csoportja izomorf a G csoporttal . Egy G csoportot megvalósíthatónak mondunk K felett, ha létezik ilyen L mező.

Részeredmények

Nagy mennyiségű részletes információ áll rendelkezésre az egyes esetekről. Ismeretes, hogy bármely véges csoport megvalósítható egy algebrai változat függvényeinek bármely mezője felett egy változóban komplex számok felett , és általánosabban egy változóban lévő függvénymezők felett bármely algebrailag zárt , nulla karakterisztikájú mező felett . Igor Rostislavovich Shafarevich megmutatta, hogy bármely véges megoldható csoport megvalósítható [2] . Az is ismert, hogy bármely szórványos csoport , az M 23 Mathieu csoport kivételével , megvalósítható [3] felett . $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

David Hilbert megmutatta, hogy ez a kérdés a racionalitás kérdéséhez kapcsolódik G :

Ha K egy olyan kiterjesztés , amelyben G automorfizmuscsoportként működik, és az K G [4] invariáns mező racionális over , akkor G felett realizálható .

\mathbb {Q}

\mathbb {Q}

\mathbb {Q}

A racionális itt azt jelenti, hogy a kiterjesztés egy algebrailag független halmaz által generált mező tisztán transzcendentális kiterjesztése. Ez a kritérium például felhasználható annak kimutatására, hogy minden szimmetrikus csoport megvalósítható. $\mathbb {Q}$

Sok részletes tanulmány jelent meg erről a kérdésről, bár a probléma általános megoldása nem történt meg. E munkák némelyike G - t geometriailag megszerkeszti, mint a projektív egyenes Galois -féle lefedését algebrai értelemben, kezdve a racionális függvények területének egy ismeretlen t -ből való kiterjesztésével . Ezután a Hilbert-féle redukálhatatlansági tételt alkalmazzuk t finomítására , hogy megőrizzük a Galois-csoportot. $\mathbb {Q} (t)$

Ismeretes, hogy az összes 16-os vagy annál kisebb fokú permutációs csoport megvalósítható [5] felett , de a tizenhetedik fokú PSL(2,16):2 csoport nem realizálható [6] . $\mathbb {Q}$

Ismeretes, hogy mind a 13 nem Abel-féle egyszerű csoport, amely kisebb, mint a PSL(2,25) (7800-as sorrendben), megvalósítható [7] alatt . $\mathbb {Q}$

Egy egyszerű példa: ciklikus csoportok

Klasszikus eredményeket használva lehetséges egy olyan polinom explicit megalkotása, amelynek Galois-csoportja egy mező felett bármely n pozitív egész szám ciklikus csoportja . Ehhez választunk egy p prímszámot úgy, hogy p ≡ 1 (mod n ) . Ezt a Dirichlet-tétel szerint lehet megtenni . Legyen a μ elem által generált mező körkörös kiterjesztése , ahol μ az egység primitív p- edik gyöke . A mező Galois-csoportja ciklikus és p − 1 rendű . $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $\mathbb {Q} (\mu )$ $K$ $\mathbb {Q} (\mu )/\mathbb {Q}$

Mivel n osztja p - 1 -et, a Galois-csoportnak van egy ( p -1)/ n rendű H ciklikus alcsoportja . A Galois-elmélet főtételéből következik, hogy a megfelelő fix mezőnek van egy feletti Galois-csoportja . A megfelelő μ konjugációs összegek felvételével , majd a Gauss-periódusok összeállításával megkereshetjük az F mező α elemét , amely F -et generál , és kiszámíthatjuk annak minimális polinomját. ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (\mu )^{H))$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Ez a módszer kiterjeszthető az összes véges Abel-csoportra , mivel minden ilyen csoport valójában valamilyen körkörös mezőkiterjesztés Galois-csoportjának faktorcsoportjaként jelenik meg . (Ezt az állítást nem szabad összetéveszteni a Kronecker-Weber tétellel , amely sokkal mélyebb.) $\mathbb {Q}$

Példa: harmadrendű ciklikus csoport

Mert el tudjuk fogadni . Ekkor a csoport ciklikus és 6-os rendű. Vegyük ennek a csoportnak az η generátorát , amely μ -t vesz fel . Másodrendű alcsoportra vagyunk kíváncsiak . Tekintsük az elemet . A szerkezet szerint α -t a H alcsoport a helyén hagyja, és csak három konjugátuma van : $n=3$ $p=7$ $Gal(\mathbb {Q} (\mu )/\mathbb {Q} )$ $\mu ^{3}$ $H=\{1,\eta ^{3}\}$ $\alpha =\mu +\eta ^{3}(\mu )$ $\mathbb {Q}$

\alpha =\eta ^{0}(\alpha )=\mu +\mu ^{6}

\beta =\eta ^{1}(\alpha )=\mu ^{3}+\mu ^{4}

\gamma =\eta ^{2}(\alpha )=\mu ^{2}+\mu ^{5}

Az identitás használata

1+\mu +\mu ^{2}+\dots +\mu ^{6}=0

azt lehet találni

\alpha +\beta +\gamma =-1

\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-2

\alpha \beta \gamma =1

Tehát α a polinom gyöke

(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^{3}+x^{2}-2x-1

Amelynek tehát egy Galois csoportja van . $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Szimmetrikus és váltakozó csoportok

Hilbert megmutatta, hogy minden szimmetrikus és váltakozó csoport racionális együtthatós polinomok Galois-csoportjaként ábrázolható.

A polinomnak van diszkriminánsa $x^{n}+ax+b$

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}( n-1)^{n-1}a^{n}\jobbra).

Vegyünk egy speciális esetet

f(x,s)=x^{n}-sx-s

Ha behelyettesítünk egy prímszámot s helyére , egy polinomot kapunk (úgynevezett függvény példányosítás ), amely az Eisenstein-kritérium szerint irreducibilis . Ezután redukálhatatlannak kell lennie . Sőt, formába is átírható $f(x,s)$ $f(x,s)$ $f(x,s)$ $\mathbb {Q} (s)$ $f(x,s)$

x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)( x+1)

és átírható a formában $f(x,1/2)$

{\tfrac {1}{2}}(x-1)\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)

amelynek második tényezője az Eisenstein-kritérium szerint irreducibilis. Megmutattuk, hogy a csoport kétszeresen tranzitív . $Gal(f(x,s)/\mathbb {Q} (s))$

Ekkor megállapíthatjuk, hogy ennek a Galois-csoportnak van permutációja. Használja a léptéktényezőt a megszerzéséhez $(1-n)x=ny$

y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\ balra({\frac {1-n}{n}}\jobbra)^{n}\jobbra\}

és a helyettesítés segítségével

t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},

kapunk

g(y,t)=y^{n}-nty+(n-1)t

hogy a kifejezés átalakítható

y^{n}-y-(n-1)(y-1)+(t-1)(-ny+n-1)

Ekkor 1 a dupla nulla , és a többi n − 2 nullája prím, ami helyettesítést jelent -ben . Bármely véges , kétszeresen tranzitív permutációs csoport , amely permutációt tartalmaz, teljes szimmetrikus csoport. $g(y,1)$ $Gal(f(x,s)/\mathbb {Q} (s))$

Hilbert redukálhatatlansági tételéből tehát az következik, hogy a racionális számok végtelen halmaza olyan konkretizálást ad, amelynek Galois-csoportjai egy racionális mező feletti csoportok . Valójában ez a racionális számkészlet sűrű a -ban . $f(x,t)$ $S_{n}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

A diszkrimináns az $g(y,t)$

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t ),

és általában nem tökéletes négyzet.

Váltakozó csoportok

A váltakozó csoportok megoldásait a páros és a páratlan fokokra külön-külön kell figyelembe venni.

Páratlan fokozat

Hadd

t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}

Ennek az értéknek a helyettesítése után a diszkrimináns egyenlő lesz $g(y,t)$

{\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n- 1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n- 1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1 )^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\ tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1} u^{2}\end{igazított}}

ami tökéletes négyzet, ha n páratlan.

Páros fokozat

Legyen:

{\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2))))

Ennek az értéknek a helyettesítése után a diszkrimináns egyenlő lesz $g(y,t)$

{\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n- 1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n- 1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\jobb )\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left ({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+( -1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\jobbra)\\&=(-1)^{\frac {n(n) -1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n) -1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{ 2}}}\jobbra)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{ n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n} (n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{igazított}}

Ami tökéletes négyzet, ha n páros.

Hilbert irreducibilitási tétele ismét azt jelenti, hogy végtelen számú példány létezik, amelyek Galois-csoportjai váltakozó csoportok.

Merev csoportok

Tegyük fel, hogy egy véges G csoport társosztályai , és A egy n sorszámú G -ből álló halmaz , amely benne van , és a szorzat triviális. Ekkor A -t merevnek nevezzük, ha nem üres. G tranzitív módon hat rá konjugációval, és az A halmaz minden eleme G - t generál . ${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n))$ $g_{1},\dots ,g_{n})$ $GI$ $C_{i}$ $g_{1}{\dots }g_{n}$

Thompson [8] megmutatta, hogy ha egy véges G csoportnak van merev halmaza, akkor gyakran megvalósítható Galois-csoportként racionális számok körkörös kiterjesztése felett. (Pontosabban a kosetteken lévő irreducibilis G karakterek értékei által generált racionális okok körkörös kiterjesztése felett .) $C_{i}$

Ez felhasználható annak bemutatására, hogy sok véges egyszerű csoport, beleértve a szörnycsoportot is, racionális számkiterjesztések Galois-csoportja. A szörnyet három elem generálja 2 -es , 3 -as és 29 -es renddel . Minden ilyen hármas szomszédos.

A merevség prototípusa a szimmetrikus csoport , amelyet egy n -ciklus és egy permutáció generál, amelynek szorzata egy ( n - 1) -ciklus. Az előző rész konstrukciója ezeket a generátorokat használja a polinomiális Galois-csoportok előállításához. $S_{n}$

Építés az elliptikus moduláris függvény segítségével

Vegyünk bármely n > 1 egész számot . A τ periódusú komplex síkban lévő rácsnak van egy nτ periódusú részrácsa . Ez utóbbi az egyik véges részrácshalmaz , amelyet a moduláris csoport permutál , amely a rács alapjának megváltoztatásán alapul . Jelölje j Felix Klein elliptikus moduláris függvényét . A polinomot a szomszédos részrácsok közötti különbségek szorzataként határozzuk meg. Mivel az X -beli polinomnak olyan együtthatói vannak, amelyek j ( τ ) -beli polinomok . $\lambda$ $\Lambda '$ $PSL(2,\mathbb {Z} )$ $\lambda$ $\varphi_n$ $(Xj(\Lambda _{i}))$ $\varphi_n$ $\mathbb {Q}$

A szomszédos rácsokon a moduláris csoport úgy működik, mint . Ez azt jelenti, hogy van egy izomorf Galois- csoport . $PGL(2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ $\varphi_n$ $PGL(2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q} (J(\tau ))$

A Hilbert-féle irreducibilitási tételt használva racionális számok végtelen (és sűrű) halmazát adjuk meg, amely polinomokká konkretizálódik Galois-csoporttal a mező felett . A csoportok végtelenül sok megoldhatatlan csoportot foglalnak magukban. $\varphi_n$ $PGL(2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $PGL(2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

Jegyzetek

↑ Archivált másolat . Letöltve: 2018. július 11. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 29. (határozatlan)
↑ Shafarevich, 1958 , p. 1217-1219.
↑ Jensen, Ledet, Yui, 2002 , p. 5.
↑ Egy Galois-csoport bármely G alcsoportja esetén a megfelelő köztes mező, amelyet általában K G -vel jelölnek, a K mező azon elemeinek halmaza, amelyek a G - ből származó minden automorfizmus fix pontjai a K -ből indukált műveletekkel .
↑ Kezdőlap . Letöltve: 2018. július 11. Az eredetiből archiválva : 2018. július 13. (határozatlan)
↑ Válasszon egy csoportot . Letöltve: 2018. július 11. Az eredetiből archiválva : 2018. február 27. (határozatlan)
↑ Malle, Matzat, 1999 , p. 403-424.
↑ Thompson, 1984 .

Irodalom

Az inverz probléma Galois-elmélete - Matematikai enciklopédia cikk . S. P. Demushkin
Alexander M. Macbeath. A Rationals kiterjesztései Galois csoporttal PGL(2,Z n ) , // Bull. London Math. Szoc.. - 1969. - Kiadás. 1 . - S. 332-338 .
John G. Thompson. Néhány véges csoport, amelyek Gal L/K-ként jelennek meg, ahol K⊆ Q(μ n ) // Journal of Algebra. - 1984. - T. 89 , sz. 2 . – S. 437–499 . - doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X .
Helmut Volklein. Csoportok, mint Galois-csoportok, bevezető. – Cambridge University Press, 1996.
Jean-Pierre Serre . A Galois-elmélet témái. - Jones és Bartlett, 1992. - Vol. 1. - (Research Notes in Mathematics). - ISBN 0-86720-210-6 .
Gunter Malle, Heinrich Matzat. Inverz Galois elmélet. - Springer-Verlag, 1999. - ISBN 3-540-62890-8 .
Alexander Schmidt, Kay Wingberg. Safarevic tétele a megoldható csoportokról, mint Galois-csoportokról ]. Az eredetiből archiválva : 2005. augusztus 30.
Christian U. Jensen, Arne Ledet, Noriko Yui. Általános polinomok, az Inverz Galois-probléma konstruktív aspektusai. – Cambridge University Press, 2002.
Shafarevich I. R. A beágyazási probléma romló kiterjesztéseknél // Dokl. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. - 1958. - T. 120 , sz. 6 .