Inverz probléma

Az inverz probléma egy olyan probléma, amely gyakran felmerül a tudomány számos ágában , amikor a modell paramétereinek értékeit a megfigyelt adatokból kell megszerezni.

Példák inverz problémákra a következő területeken találhatók: geofizika , csillagászat , orvosi képalkotás , számítógépes tomográfia , Föld távérzékelés , spektrális elemzés , szóráselmélet és NDT problémák .

Az inverz problémák rosszul felállított problémák. A jól feltett probléma három feltétele közül (a megoldás megléte, a megoldás egyedisége és stabilitása ) az utolsó sérül leggyakrabban az inverz problémáknál. A funkcionális elemzésben az inverz problémát metrikus terek közötti leképezésként ábrázolják . Az inverz feladatokat általában végtelen -dimenziós terekben fogalmazzák meg, de a mérések végességének megszorítása és a véges számú ismeretlen paraméter kiszámításának célszerűsége a feladat diszkrét formában történő megváltozásához vezet. Ebben az esetben a túlillesztés elkerülése érdekében szabályosító módszert alkalmazunk .

Lineáris inverz probléma

A lineáris inverz probléma a következőképpen írható le:

\ d=G(m)

ahol egy lineáris operátor , amely az adatok és a modellparaméterek közötti explicit kapcsolatokat írja le, és egy fizikai rendszert képvisel. Lineáris rendszert leíró diszkrét lineáris inverz probléma esetén az és a vektorok , ami lehetővé teszi a probléma alábbi ábrázolásának használatát: $G$ $d$ $m$

\ d=Gm

hol van egy mátrix . $G$

Példák

Lineáris inverz probléma például az elsőrendű Fredholm-integrálegyenlet .

d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy

Lényegében sima operátor esetén a fent meghatározott operátor kompakt az olyan Banach-tereken , mint a Spaces . Még ha a leképezés egy az egyhez , az inverz függvény nem lesz folyamatos . Így a megoldásban még az adatok kis hibái is nagymértékben megnövekednek . Ebben a tekintetben a mért adatokból meghatározandó fordított probléma helytelen lesz. $g$ $L^{p}$ $d$ $m$ $m$ $d$

A numerikus megoldáshoz az integrált numerikus integrációval és diszkrét adatokkal kell közelíteni . A kapott lineáris egyenletrendszer egy rosszul feltett probléma lesz.

A Radon transzformáció is egy példa a lineáris inverz problémára.

Nemlineáris inverz probléma

A nemlineáris inverz problémákban az adatok és a modell között összetettebb összefüggések vannak felállítva, amelyeket a következő egyenlet ír le:

\d=G(m).

Itt van egy nemlineáris operátor, amely nem redukálható lineáris leképezéssé, amely adatokká alakul. A lineáris inverz problémákat a 19. század végén elméleti szempontból teljesen megoldották , a nemlineárisak közül 1970 -ig a problémáknak csak egy osztályát oldották meg - a visszaszórás problémáját. Jelentős hozzájárulást jelentett az orosz matematikai iskola ( Kerin , Gelfand , Levitan ). $G$ $m$

Linkek

Nemzetközi tudományos folyóiratok

Irodalom

Goltsman F. M. Statisztikai értelmezési modellek. - M., Nauka, 1971. - 323 p.