Axióma rendszermodell
Az axiómarendszer-modell bármely olyan matematikai objektum , amely megfelel egy adott axiómarendszernek . Egy axiómarendszer igazságtartalma csak úgy bizonyítható, ha egy másik axiómarendszer keretein belül felállítunk egy modellt, amelyet "igaznak" tartanak. Ezenkívül a modell lehetővé teszi ennek az axiomatikus elméletnek néhány jellemzőjének vizuális bemutatását .
Az axiomatikus elméletekről
Az axiomatikus elmélet a következőképpen épül fel: bemutatunk több alapvető objektumot (a planimetriában ezek egy pont , egy egyenes , egy sík , „tartozik”, „között van” és mozgás ). Ezek az objektumok nem kapnak definíciókat , de számos axiómát feltételeznek , amelyek megmagyarázzák ezen objektumok tulajdonságait.
Az axiomatikus elmélet nem mondja meg egyértelműen, hogy léteznek-e pontok, egyenesek és síkok. Ezért két lehetőség közül választhat:
- Az axiómarendszerből két ellentétes állítás következik. Az ilyen rendszert inkonzisztensnek nevezik - ez azt jelenti, hogy nem léteznek pontok, egyenesek és síkok, ami azt jelenti, hogy a planimetria sem létezik.
- Néhány matematikai konstrukció készül (például aritmetika alapján ), amelyen belül "pontok", "vonalak" és "sík" lesznek meghatározva. Ez lesz a planimetriás modell. A modell felépítése megerősíti, hogy az axiómarendszer konzisztens.
(Valójában a második igaz a planimetriára, lásd alább.)
Példák
A formális logika modellje a Boole-algebra keretein belül
- A "változók" logikai változók a {0,1} halmazból.
- Az és előjelek a megfelelő Boole-algebrai műveletek.
Ha az összes lehetséges A-t, B-t, C-t behelyettesítjük az axiómákba, biztosítjuk, hogy az összes axióma érvényes legyen ebben a modellben. A modus ponens igazságát ugyanígy tesztelik .
A planimetria modellje az aritmetika keretein belül
A "pont" egy valós számpár .
"Vonal" - minden olyan pont, amelyre , ahol és nem egyenlő 0-val egyidejűleg.
"Sík" - minden lehetséges valós számpár .
Lobacsevszkij geometriai modellje a planimetria szempontjából
A Lobacsevszkij-geometria legérdekesebb modellje a Poincaré-modell. A "sík" a kör belseje , a "pont" egy pont, az "egyenes" pedig egy egyenes vagy a körre merőleges ív. A szögeket úgy tekintjük, mint Eukleidész geometriájában.
A modell fizikai jelentése a következő. A fénysebesség egy kerek "világban" változzon a középpontban lévő c -ről nullára a széleken a törvény szerint (ami azt jelenti, hogy a törésmutató 1 lesz a középpontban és a széleken). Ekkor a fény a határra merőleges íveken mozog, de nem éri el a határt véges időn belül. A lakosok számára ez a „világ” végtelennek tűnik, és Lobacsevszkij geometriáját a hitre fogják venni.
