A többváltozós valószínűségi változó vagy véletlen vektor ( matematika , valószínűség és statisztika ) olyan matematikai változók listája , amelyek mindegyikének értéke ismeretlen, vagy azért, mert az érték még nem fordult elő, vagy az érték tökéletlen ismerete miatt. A véletlen vektorok egyedi változói azért vannak csoportosítva, mert egyetlen matematikai rendszer részét képezik – gyakran az egyes statisztikai egységek különböző tulajdonságait képviselik. Például legyen egy adott személynek egy bizonyos kora, magassága és súlya. Ezeknek a tulajdonságoknak az összessége egy véletlenszerű személyben a csoportból véletlenszerű vektor lesz. Általában egy véletlen vektor minden eleme valós szám .
A véletlenszerű vektorokat gyakran használják a véletlenszerű változók különféle gyűjteményeinek , például véletlenszerű mátrixok , véletlenszerű fák, véletlen sorozatok, véletlenszerű folyamatok stb.
Formálisabban a többváltozós valószínűségi változó egy oszlopvektor ( vagy annak transzponált mátrixa , amely egy sorvektor), amelynek összetevői a valószínűségi változók skaláris értékei ugyanabban a valószínűségi térben , ahol ez az elemi események tere , ez egy szigma-algebra (az összes esemény halmaza), és van egy mérési valószínűség (egy függvény, amely minden esemény valószínűségét adja vissza).
Minden véletlenvektor generál egy valószínűségi mértéket a szigma-algebra alapjául szolgáló Borel-algebrán. Ezt a mértéket közös valószínűségi eloszlásnak, együttes eloszlásnak vagy többváltozós véletlenvektor-eloszlásnak is nevezik.
A valószínűségi változók egyes összetevőinek eloszlását határeloszlásnak nevezzük . A megadott feltételes valószínűségi eloszlás egy adott értékként ismert valószínűségi eloszlás .
A véletlen vektorokra ugyanazok az algebrai műveletek vethetők alá, mint a nem véletlenszerű vektoroknál: összeadás, kivonás, skalárral való szorzás és pontszorzat .
Hasonlóképpen egy új véletlen vektor definiálható egy affin transzformáció alkalmazásával a véletlen vektorra :
, ahol egy mátrix és egy oszlopból álló vektorHa reverzibilis és a valószínűségi sűrűség , akkor a valószínűségi sűrűség
.A véletlen vektor matematikai elvárása vagy átlaga egy rögzített vektor , amelynek elemei a megfelelő valószínűségi változók várható értékei.
A kovariancia-mátrix (más néven variancia-kovariancia mátrix) egy véletlen vektor, amelynek mátrixa egy olyan méretű mátrix , amelyben az ( i,j ) -edik elem az i - edik és a j - edik valószínűségi változó közötti kovariancia . A kovariancia mátrix egy mátrixszorzással kapott méretű mátrix elemenkénti elvárása , ahol a T felső index a megadott vektor transzpozíciójára utal:
Ezen túlmenően, és ( van elemei és vannak elemei ) egy mátrix
Ahol ismét a megadott mátrix elvárás lépésről lépésre történik a mátrixban. Ebben az ( i,j ) -edik elem a mátrix i- edik eleme és a mátrix j - edik eleme közötti kovariancia, A keresztkovariancia mátrix könnyen előállítható a kapott mátrix transzponálásával .
Vegyük a másodfokú alak elvárását egy X véletlenvektorban a következőképpen : 170–171.
Ahol C X kovarianciamátrixa, tr pedig a mátrix nyoma, azaz a főátlójában (bal felsőtől jobbra lent) lévő elemek összege. Mivel a másodfokú alak skalár, ez egyben a matematikai elvárása is.
Bizonyítás : Legyen egy c méretű véletlenszerű vektor és és egy nem sztochasztikus méretű mátrix
Ekkor a kovariancia alapképlete alapján, ha és (ahol a következőkben a főjel transzponálást jelöl), azt látjuk:
Következésképpen,
ami elvezet minket ahhoz
Ez annak köszönhető, hogy a végeredmény megváltoztatása nélküli nyomkövetéskor ciklikusan átrendezheti a mátrixokat (például tr (AB) = tr (BA)).
Látjuk, hogy a kovariancia
és akkor
akkor skalár _
triviálisan. A permutáció segítségével a következőket kapjuk:
És ha ezt belefoglaljuk az eredeti képletbe, a következőket kapjuk:
Vegyük két különböző másodfokú alak szorzatának elvárását egy X Gauss -féle véletlenszerű vektorban nulla átlaggal a következőképpen: :p. 162–176
Ahol ismét C az X kovarianciamátrixa. Ismételten, mivel mindkét másodfokú forma skalár, így a szorzatuk is skalár, a szorzatuk átlaga is skalár.
Egy k × 1 véletlen vektor időbeli alakulása vektorautoregresszióval (VAR) modellezhető a következőképpen: