Többváltozós valószínűségi változó
A többváltozós valószínűségi változó vagy véletlen vektor ( matematika , valószínűség és statisztika ) olyan matematikai változók listája , amelyek mindegyikének értéke ismeretlen, vagy azért, mert az érték még nem fordult elő, vagy az érték tökéletlen ismerete miatt. A véletlen vektorok egyedi változói azért vannak csoportosítva, mert egyetlen matematikai rendszer részét képezik – gyakran az egyes statisztikai egységek különböző tulajdonságait képviselik. Például legyen egy adott személynek egy bizonyos kora, magassága és súlya. Ezeknek a tulajdonságoknak az összessége egy véletlenszerű személyben a csoportból véletlenszerű vektor lesz. Általában egy véletlen vektor minden eleme valós szám .
A véletlenszerű vektorokat gyakran használják a véletlenszerű változók különféle gyűjteményeinek , például véletlenszerű mátrixok , véletlenszerű fák, véletlen sorozatok, véletlenszerű folyamatok stb.
Formálisabban a többváltozós valószínűségi változó egy oszlopvektor ( vagy annak transzponált mátrixa , amely egy sorvektor), amelynek összetevői a valószínűségi változók skaláris értékei ugyanabban a valószínűségi térben , ahol ez az elemi események tere , ez egy szigma-algebra (az összes esemény halmaza), és van egy mérési valószínűség (egy függvény, amely minden esemény valószínűségét adja vissza).
Valószínűségi eloszlás
Minden véletlenvektor generál egy valószínűségi mértéket a szigma-algebra alapjául szolgáló Borel-algebrán. Ezt a mértéket közös valószínűségi eloszlásnak, együttes eloszlásnak vagy többváltozós véletlenvektor-eloszlásnak is nevezik.
A valószínűségi változók egyes összetevőinek eloszlását határeloszlásnak nevezzük . A megadott feltételes valószínűségi eloszlás egy adott értékként ismert valószínűségi eloszlás .
Műveletek véletlenszerű vektorokon
A véletlen vektorokra ugyanazok az algebrai műveletek vethetők alá, mint a nem véletlenszerű vektoroknál: összeadás, kivonás, skalárral való szorzás és pontszorzat .
Hasonlóképpen egy új véletlen vektor definiálható egy affin transzformáció alkalmazásával a véletlen vektorra :
, ahol egy mátrix és egy oszlopból álló vektor
Ha reverzibilis és a valószínűségi sűrűség , akkor a valószínűségi sűrűség
.
Elvárás, kovariancia és keresztkovariancia
A véletlen vektor matematikai elvárása vagy átlaga egy rögzített vektor , amelynek elemei a megfelelő valószínűségi változók várható értékei.
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027b4ba8627bb297a8039b230b2afb29a717422)
A kovariancia-mátrix (más néven variancia-kovariancia mátrix) egy véletlen vektor, amelynek mátrixa egy olyan méretű mátrix , amelyben az ( i,j ) -edik elem az i - edik és a j - edik valószínűségi változó közötti kovariancia . A kovariancia mátrix egy mátrixszorzással kapott méretű mátrix elemenkénti elvárása , ahol a T felső index a megadott vektor transzpozíciójára utal:
![{\displaystyle [\mathbf {X} -\operátornév {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operátornév {E} [\mathbf {X} ]]^{T))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26928071db5f676c48f2cf3cdbd4bf86d06f052f)
![{\displaystyle \operátornév {Var} [\mathbf {X} ]=\operátornév {E} [(\mathbf {X} -\operátornév {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\ operátornév {E} [\mathbf {X} ])^{T}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9597de961dca554640f42164a51ba66b6fa49b5)
Ezen túlmenően, és ( van elemei és vannak elemei ) egy mátrix
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operátornév {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\ mathbf {Y} -\operátornév {E} [\mathbf {Y} ])^{T}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14943efa7aed0337f226074a9ee909bedd539363)
Ahol ismét a megadott mátrix elvárás lépésről lépésre történik a mátrixban. Ebben az ( i,j ) -edik elem a mátrix i- edik eleme és a mátrix j - edik eleme közötti kovariancia, A keresztkovariancia mátrix könnyen előállítható a kapott mátrix transzponálásával .
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86490c56b48869d56250f25ecdb101769cff335)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d84d647f6dffb3803750a8f44ee3068f70f44f7)
További tulajdonságok
Másodfokú alak elvárása
Vegyük a másodfokú alak elvárását egy X véletlenvektorban a következőképpen : 170–171.
![{\displaystyle \operátornév {E} (X^{T}AX)=[\operátornév {E} (X)]^{T}A[\operátornév {E} (X)]+\operátornév {tr} (AC ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55e80f3160a344eae85904951fd1457974f2da6)
Ahol C X kovarianciamátrixa, tr pedig a mátrix nyoma, azaz a főátlójában (bal felsőtől jobbra lent) lévő elemek összege. Mivel a másodfokú alak skalár, ez egyben a matematikai elvárása is.
Bizonyítás : Legyen egy c méretű véletlenszerű vektor és és egy nem sztochasztikus méretű mátrix
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c9a1f25ffb3b5b2239af348cc56c5b7ef47965)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc12db2602c6710843ecd22e6a1918f7ee86a07)
Ekkor a kovariancia alapképlete alapján, ha és (ahol a következőkben a főjel transzponálást jelöl), azt látjuk:
![{\displaystyle \operátornév {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operátornév {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ']-\operátornév {E} [\mathbf { X} ]\operátornév {E} [\mathbf {Y} ]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c410ac0faeaab3a19ea665774f47e1affc6751)
Következésképpen,
ami elvezet minket ahhoz
Ez annak köszönhető, hogy a végeredmény megváltoztatása nélküli nyomkövetéskor ciklikusan átrendezheti a mátrixokat (például tr (AB) = tr (BA)).
Látjuk, hogy a kovariancia
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (z',z'A')&=E\left[\left(z'-E(z')\right)\left(z'A') -E\left(z'A'\right)\right)'\right]\\&=E\left[(z'-\mu ')(z'A'-\mu 'A')'\jobb ]\\&=E\left[(z-\mu )'(Az-A\mu )\jobbra].\end{igazított}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4efbb889b4e7759d2c969cae5afee7796eeea3)
és akkor
akkor skalár _
![{\displaystyle (z-\mu )'(Az-A\mu )=\operátornév {tr} \left[{(z-\mu )'(Az-A\mu )}\right]=\operátornév {tr } \left[(z-\mu )'A(z-\mu )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17abd9fd4f3ab847b8b75ec201e77fd8fccb324)
triviálisan. A permutáció segítségével a következőket kapjuk:
![{\displaystyle \operátornév {tr} \left[{(z-\mu )'A(z-\mu )}\right]=\operátornév {tr} \left[{A(z-\mu )(z- \mu )'}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ebd1046886a46b250a4f3ce5e73683e653b592)
És ha ezt belefoglaljuk az eredeti képletbe, a következőket kapjuk:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left({z',z'A'}\right)&=E\left[{\left({z-\mu }\right)'( Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operátornév {tr} \left[A(z-\mu )(z-\mu )'\right]\right]\\&= \operátornév {tr} \left[{A\cdot E\left[(z-\mu )(z-\mu )'\right]}\right]\\&=\operátornév {tr} [AV].\ vége{igazított}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdc0bfa238111aa4d0a5c5258510eb83f2a79ea)
Két különböző másodfokú alak szorzatának matematikai elvárása
Vegyük két különböző másodfokú alak szorzatának elvárását egy X Gauss -féle véletlenszerű vektorban nulla átlaggal a következőképpen: :p. 162–176
![{\displaystyle \operátornév {E} [X^{T}AX][X^{T}BX]=2\operátornév {tr} (ACBC)+\operátornév {tr} (AC)\operátornév {tr} (BC )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16426c4364d636cb5bd920ce9a9ae8dcfe182cc)
Ahol ismét C az X kovarianciamátrixa. Ismételten, mivel mindkét másodfokú forma skalár, így a szorzatuk is skalár, a szorzatuk átlaga is skalár.
Vektoros idősor
Egy k × 1 véletlen vektor időbeli alakulása vektorautoregresszióval (VAR) modellezhető a következőképpen: