Minimális felület

A minimális felület egy sima felület nulla átlagos görbülettel . Az elnevezést az magyarázza, hogy egy adott kontúrú, a területet minimalizáló sima felület minimális.

Példák

Tulajdonságok

A minimális felületen lévő aszimptotikus vonalak izotermikus hálózatot alkotnak .
Általánosságban elmondható, hogy egy éllel rendelkező minimális felület nem rendelkezik a minimális területtel az adott kontúrral rendelkező összes felület között. De a minimális felület bármely pontja benne van a lemezen, minimalizálva a kontúrnak adott területet.
- Sőt, ha egy kompakt minimális felület egy konvex tartományon definiált sima függvény gráfja a -síkban, akkor minimálisra csökkenti a területet az összes adott határfelülettel rendelkező felület között. [egy] $z=f(x,y)$ $(x,y)$
Monotonitási képlet

Történelem

A minimális felületek első vizsgálatai Lagrange -től ( 1768 ) nyúlnak vissza, aki a következő variációs problémával foglalkozott: keresse meg az adott körvonalon átívelt legkisebb terület felületét. Feltételezve a kívánt felületet a formában , Lagrange megállapította, hogy ennek a függvénynek teljesítenie kell az Euler-Lagrange egyenletet . $z=f(x,y)$

Monge ( 1776 ) később felfedezte, hogy a felület minimális feltétele azt jelenti, hogy átlagos görbülete nulla. Ezért a „minimális” nevet adták a felületekhez. Valójában azonban különbséget kell tenni a minimális felület és a legkisebb terület felülete fogalma között, mivel a feltétel csak egy szükséges feltétele a minimális területnek, ami az 1. variáció nullával való egyenlőségéből következik. adott határfelülettel rendelkező összes felület felülete. $H=0$ $H=0$

Jegyzetek

↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. kalibrált geometriák. ActaMath. 148 (1982), 47–157.

Linkek

Jevgenyij Sztepanov Videó előadások: minimális felületek (rus.)