A kvantummechanika matematikai alapjai

A kvantummechanika matematikai alapjai a kvantummechanikai jelenségek matematikai modellezésének a kvantummechanikában elfogadott módszere , amely lehetővé teszi a kvantummechanikában megfigyelt mennyiségek számértékeinek kiszámítását. Létrehozták: Louis de Broglie [1] (anyaghullámok felfedezése ) , W. Heisenberg [2] ( mátrixmechanika létrehozása , a bizonytalansági elv felfedezése ), E. Schrödinger [3] ( Schrödinger-egyenlet ), N. Bohr [4] (a komplementaritás elve ). P. A. M. Dirac befejezte a kvantummechanika matematikai alapjainak megalkotását és modern formát adott nekik [5] [6] . A kvantummechanika matematikai egyenleteinek megkülönböztető jegye a Planck -állandó szimbólumának jelenléte .

Megfigyelhető elemek és állapotvektorok

A megfigyelhető mennyiségek és állapotok a kvantummechanikában a fizikai rendszerek leírásának fő jellemzői.

A megfigyelt mennyiségeket lineáris önadjungált operátorok modellezik egy komplex szeparálható Hilbert térben (állapottérben) [7] . Minden fizikai mennyiség egy lineáris hermitikus operátornak vagy mátrixnak felel meg. Például egy részecske sugárvektora a szorzó operátornak , a részecske impulzusa az operátornak , a szögimpulzus pedig az operátornak felel meg. $x$ $x$ ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$

\hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\times {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .

Az állapotokat ennek a térnek a normalizált elemeinek osztályai (állapotvektorok) modellezik, amelyek csak komplex tényezőben különböznek egymástól, egységnyi modulussal (normalizált hullámfüggvények). [7]

A hullámfüggvények kielégítik a szuperpozíció kvantumelvét : ha két lehetséges állapotot jelképeznek hullámfüggvények és , akkor van egy harmadik állapot, amelyet a hullámfüggvény képvisel. $\psi_{{1}}$ $\psi_{{2}}$

\psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},

ahol és tetszőleges amplitúdók [8] . $c_{{1}}$ $c_{2}$

Egy fizikai mennyiség pontos mérésének eredménye csak ennek az operátornak a sajátértékei lehetnek . [7] $A$ $\widehat {A}$

Az állapot nagyságértékeinek matematikai várakozását a következőképpen számítjuk ki . Itt a zárójelek a vektorok skaláris szorzatát jelölik (mátrixábrázolásnál az átlós mátrixelemet). [7] $\overline {A}$ $A$ $\psi$ $\overline {A}=(\psi ,\widehat {A}\psi )$

Az állapotvektorok és akkor és csak akkor írják le ugyanazt az állapotot, ha hol tetszőleges komplex szám. Minden megfigyelhető egyedileg hozzá van rendelve egy lineáris önadjungált operátorhoz [9] . A megfigyelt mennyiség állapotbeli lehetséges értékeinek valószínűségi eloszlását a [10] mérték adja meg : $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi _{2}=c\psi _{1},$ $c$ $A$ $\psi$

dm_{{\widehat {A)),\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),

ahol a megfigyelt mennyiségnek megfelelő önadjungált operátor , az állapotvektor, az operátor spektrális függvénye, a zárójelek a vektorok skaláris szorzatát jelölik . A megfigyelt mennyiségek és állapotvektorok tetszőleges unitárius transzformációnak vethetők alá $\widehat {A}$ $a$ $\psi$ $E_{{a}}$ $\widehat {A}$

\psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.

Ebben az esetben egyetlen értelmes fizikai mennyiség sem változik. A megfigyelhetőek akkor és csak akkor mérhetők egyidejűleg, ha a megfelelő önadjungált operátorok ingáznak (kommutálnak). $(A\psi ,\psi )$

A közösen megfigyelt mennyiségek teljes készlete

Az együtt megfigyelt mennyiségek olyan mennyiségek, amelyek egyidejűleg mérhetők. Az operátorok halmaza együttesen megfigyelt mennyiségek teljes halmazát képezi, ha a kommutativitás feltételei ( mindenkire ), a kölcsönös függetlenség (egyik operátor sem ábrázolható a többi függvényeként), teljesség (nincs olyan operátor, amely mindennel ingázna és nem ezek függvénye). Adott értékkészlethez az állapotteret függvénytérként is megvalósíthatjuk pontszorzattal: $A_{{i}},i=1,...k$ $\left[A_{i},A_{j}\right]=0$ $i,j=1,...k$ $A_{{i}}$ $A_{{i}}$ $\psi (a_{1},...a_{k})$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2 }(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).

Az operátorok a szorzás operátorai a megfelelő változókkal: $A_{{i}}$

A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).

A megfigyelhető értékek együttes eloszlása:

P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_ {1},...a_{k}).

Állapottér és megfigyelhető vektor egy részecske számára

A háromdimenziós térben lévő részecske esetében a megfigyelhető mennyiségek a koordináták és a momentum . $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ $Q_{{1}}, Q_{{2}}, Q_{{3}}$ $P_{{1}},P_{{2}},P_{{3}}$

A Schrödinger-reprezentációban (koordinátákhoz igazítva) az állapotteret négyzetes integrálható függvények alkotják belső szorzattal: $\psi(x)$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)))dx.

A koordináta operátorok a szorzóoperátorok:

{\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.

A momentum operátorok differenciáló operátorok:

{\widehat {p_{j))}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j))}\psi (x),j=1,2 ,3.

Kommutációs relációk

A derékszögű koordináta operátorok és impulzusoperátorok kielégítik a kommutációs relációkat : $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik},

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,

\left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.

Itt van Planck állandója . [7] $\hbar$

Hamilton-egyenletek

A derékszögű koordináta- és impulzusoperátorok mátrixelemei a klasszikus mechanikában Hamiltonhoz hasonló egyenleteket teljesítenek: $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}}g),

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial { \widehat {p_{i}}}}}g).

Itt van a klasszikus mechanika Hamilton-függvényének megfelelő operátor. [7] $\widehat {H}$

Schrödinger egyenlete

A Hamilton-rendszer tiszta állapotának időbeni alakulását a nemstacionárius Schrödinger-egyenlet határozza meg

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi ,

hol van a Hamilton: ${\kalap {H}}$

{\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}} {{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {({\partial }^{2}}{}}{{{\partial }y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}} .

A stacionárius, vagyis az időben nem változó állapotokat a stacionárius Schrödinger-egyenlet határozza meg:

{{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.

Azt is feltételezzük, hogy egy kvantumrendszer evolúciója Markov-folyamat , és a részecskék száma állandó [11] . Ezek a rendelkezések lehetővé teszik egy olyan matematikai apparátus létrehozását, amely alkalmas a Hamilton-rendszerek tiszta állapotú kvantummechanikájának számos problémájának leírására. Ennek az apparátusnak a továbbfejlesztése a kvantumtérelmélet , amely általában változó számú részecskeszámú kvantumfolyamatokat ír le. A sűrűségmátrixot nyitott, nem-hamiltoni és disszipatív kvantumrendszerek állapotainak leírására , a Lindblad-egyenletet pedig az ilyen rendszerek fejlődésének leírására használják . A kvantum -nem-Markov-folyamatok leírására általában a Lindblad-egyenlet különféle általánosításait javasolják.

Identitáselv

Bármely azonos elemi részecskepárban az elemi részecskék felcserélhetők anélkül, hogy fizikailag új állapotok jelennének meg. Matematikailag az azonosságelv a permutációs operátor sajátértékeire vonatkozó feltételt jelent : [12] . $\lambda =\pm 1$ ${\displaystyle P_{kj))$ $P_{kj}\psi =\lambda \psi$

A c állapotok antiszimmetrikusak (félegész spinű fermionok), a c állapotok szimmetrikusak (egész spinű bozonok). $\lambda =-1$ $\lambda =+1$

Lásd még

Jegyzetek

↑ L. de Brogile, Ann. d. fiz. (10), 3, 22, 1925
↑ W. Heisenberg, ZS f. Phys. 33, 879, 1925
↑ E. Schrodinger, Ann. d. fiz. (4), 79, 361, 489, 734 1926
↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
↑ Dirac P. A. M. A kvantummechanika alapelvei. - M. : Nauka, 1979. - 409 p.
↑ Kuznyecov B. G. A kvantummechanika alapötletei. // Esszék a fizikai alapgondolatok fejlesztéséről. - Válaszolj. szerk. Grigoryan A. T. , Polak L. S. - M .: A Szovjetunió Tudományos Akadémiája, 1959. - 5000 példányban. - S. 390-421
↑ 1 2 3 4 5 6 Elyutin, 1976 , p. 25.
↑ Blokhintsev, 1963 , p. 577.
↑ Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger egyenlet. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1983.
↑ Crane S. G. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka, 1972.
↑ Bár nem kötelező.
↑ Blokhintsev, 1963 , p. 579.

Irodalom

Dirac P. A. M. A kvantummechanika alapelvei. - M. : Nauka, 1979. - 409 p.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Az axiomatikus megközelítés alapjai a kvantumtérelméletben. M.: Nauka, 1969. 424 p.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. A kvantumtérelmélet általános elvei. M.: Nauka, 1987. 616s.
Bratteli W., Robinson D. Operátoralgebrák és kvantumstatisztikai mechanika. M.: Mir, 1982. 512. sz.
J. von Neumann A kvantummechanika matematikai alapjai, M.: Nauka 1964.
Emh Zh. Algebrai módszerek a statisztikai mechanikában és a kvantumtérelméletben. M.: Mir, 1976. 424 p.
Holevo AS A kvantumelmélet valószínűségi és statisztikai vonatkozásai. M.: Nauka, 1980. 320-as évek.
Holevo AS A kvantumelmélet statisztikai szerkezete. Moszkva, Izhevsk: RHD 2003. 188s.
Sardanashvili G. A. A térelmélet modern módszerei. 3. Algebrai kvantumelmélet. Moszkva: URSS 1999. 214p.
Elyutin P. V. , Krivchenkov V. D. Kvantummechanika problémákkal. - M. : Nauka, 1976. - 336 p.
Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. - M . : Felsőiskola, 1963. - 520 p.
McKee J. Előadások a kvantummechanika matematikai alapjairól. — M .: Mir, 1965. — 220 p.