Helyileg kompakt tér

A lokálisan kompakt tér  egy topológiai tér , amelynek minden pontja rendelkezik egy nyitott szomszédsággal , amelynek zárása kompakt [1] [2] [3] . Néha gyengébb definíciót használnak: elegendő, ha minden pontnak van egy kompakt szomszédsága (itt nem feltételezzük a szomszédság nyitottságát) [4] [5] . Hausdorff-tér esetén ezek a meghatározások egyenértékűek.

Példák

• Minden kompakt tér helyileg kompakt.
• Bármely euklideszi tér lokálisan kompakt. Ez következik a Heine-Borel lemmából , és abból is, hogy véges sok kompakt tér szorzata kompakt.
• Azonban egyetlen végtelen -dimenziós normált tér sem lokálisan kompakt.
• Bármely topológiai elosztó lokálisan kompakt.
• A diszkrét terek lokálisan kompaktak (néha 0 dimenziójú sokaságnak nevezik), míg a végtelen diszkrét terek nem kompaktak.
• A lokálisan kompakt tér bármely zárt részhalmaza lokálisan kompakt.

Tulajdonságok

A helyileg kompakt Hausdorff tér teljesen szabályos tér .

Egy topológiai tér egypontos tömörítése akkor és csak akkor Hausdorff, ha lokálisan kompakt és Hausdorff.

Egy lokálisan kompakt Hausdorff-tér X altere akkor és csak akkor lokálisan kompakt, ha vannak olyan zárt A és B részhalmazok , amelyek . Ez azt jelenti, hogy egy lokálisan kompakt Hausdorff-tér sűrű részhalmaza akkor és csak akkor lokálisan kompakt, ha nyitott. Sőt, ha egy tetszőleges Hausdorff-tér altere lokálisan kompakt, akkor két zárt részhalmaz különbségeként írható fel; a fordított állítás ebben az esetben már nem igaz.

A topológiai terek családjának szorzata akkor és csak akkor lokálisan kompakt, ha a család összes tere lokálisan kompakt, és mindegyik, talán egy véges szám kivételével, kompakt.

A lokálisan kompakt tér képe egy folyamatos nyílt Hausdorff-tér leképezés mellett lokálisan kompakt.

A lokálisan kompakt Hausdorff terek faktorterei kompakt módon generálódnak . Ezzel szemben bármely kompaktan generált Hausdorff-tér egy lokálisan kompakt Hausdorff-tér hányadostere.

Helyileg kompakt csoportok

A lokális tömörség meghatározása különösen fontos a topológiai csoportok tanulmányozása során , mivel a Haar-mérték bármely Hausdorff lokálisan kompakt csoportra bevezethető , lehetővé téve a függvények integrálását ezen a csoporton. A Lebesgue mérték a Haar mérték speciális esete.

Az Abeli ​​topológiai csoport Pontryagin duálisa akkor és csak akkor lokálisan kompakt, ha A lokálisan kompakt. Pontosabban, a lokálisan kompakt abeli csoportok kategóriája önduális a Pontrjagin kettősség tekintetében. A lokálisan kompakt Abel-csoportokat a harmonikus elemzésben használják , amelynek egyik modern szakasza az ő vizsgálatukon alapul.

Jegyzetek

1. ↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elemi topológia. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
2. ↑ P. S. Alekszandrov. Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — M .: GIITL, 1948.
3. ↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. M. Fomenko. Bevezetés a topológiába. 2. kiadás, add. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 .
4. ↑ J. L. Kelly. Általános topológia. - M .: Nauka, 1968.
5. ↑ Munkres, James (1999). Topológia (2. kiadás). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .

Irodalom

• Engelking R. Általános topológia. —M.:Mir, 1986. — 752 p.